技能一覧 › 中学数学 数と式

分母の有理化

$\frac{12}{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}$ のように分母と分子に同じ根号をかけて、また $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ のように $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を使って分母を有理化し、根号を含む式の計算に使える

前提

• 根号の乗除と加減 （中学数学 数と式）
• 乗法公式による展開 （中学数学 数と式）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 分母の形を確かめる。$\square \sqrt{a}$ の 1 項か、$\sqrt{a}\pm \sqrt{b}$ や $\sqrt{a}\pm c$ の 2 項か

2. 分母が 1 項なら、分母と分子に $\sqrt{a}$ をかける

3. 分母が 2 項なら、真ん中の符号を変えた式（$\sqrt{a}-\sqrt{b}$ なら $\sqrt{a}+\sqrt{b}$）を分母と分子にかけ、分母を $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ で計算する

4. 分子を計算し、分母の数と約分する。分子が 2 項のときは、分子全体（すべての項）を約分する

5. ほかの項とたしたりひいたりするときは、有理化してから根号の同類項をまとめる

例題

よくある誤り

• 分母だけに $\sqrt{6}$ をかけて $\frac{12}{\sqrt{6}}=\frac{12}{6}=2$ としてしまう誤り。正しくは、分母と分子の両方にかけて $\frac{12\sqrt{6}}{6}=2\sqrt{6}$

• 2 項の分母に同じ式をかけて $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2}$ としてしまう誤り。$(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2=5-2\sqrt{6}$ で根号が残る。正しくは、符号を変えた $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ をかけて分母を $3-2=1$ にし、$\sqrt{3}+\sqrt{2}$

• 分子の一部だけ約分して $\frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}=\frac{6\sqrt{5}+6\sqrt{2}}{3}=2\sqrt{5}+6\sqrt{2}$ としてしまう誤り。正しくは、分子のすべての項を 3 でわって $2\sqrt{5}+2\sqrt{2}$

• 分母の $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$ を $5+2=7$ としてしまう誤り。正しくは、$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ なので $5-2=3$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $\frac{10}{\sqrt{5}}$ の分母を有理化しなさい。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  次の式を計算せよ。
  $$\frac{12}{\sqrt{6}}-\sqrt{54}+\sqrt{3}\times \sqrt{8}$$

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  次の式を計算しなさい。
  $$(\sqrt{5}-\sqrt{2}{)}^2+\frac{20}{\sqrt{10}}$$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  次の式を計算しなさい。
  $$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{2}{)}^2}{\sqrt{6}}$$

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  正の数 $p$ について、$p$ 以下の最大の整数を $p$ の整数部分といい、$p$ から整数部分をひいた数を $p$ の小数部分という。$\frac{6}{3-\sqrt{3}}$ の小数部分を $a$ とするとき、$a(a+4)$ の値を求めよ。

• 難易度 4（公立高校入試の難問・私立高校入試レベル）

  次の式を計算しなさい。答えは分母を有理化した形で答えなさい。$$\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1)}{\sqrt{6}}$$

この技能の次に学べること

• 根号を含む式の計算と分母の有理化 （数学I 数と式）
• 根号を含む数を代入した式の値 （中学数学 数と式）