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数と式の問題

難易度 4公立高校入試の難問・私立高校入試レベル中学数学数と式

次の式を計算しなさい。答えは分母を有理化した形で答えなさい。 $\frac{( 3 + 2 - 1 ) ( 3 - 2 + 1 )}{6}$

この問題で使うもの

乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（説明と入口の問題）
分母の有理化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（15 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

分子の 2 つのかっこの中を見比べると、 $3$ は共通で、残りの部分は符号だけが反対になっています。

ヒント 2

$2 - 1 = A$ とおくと、分子は $(3 + A) (3 - A)$ となり、乗法公式が使えます。

ヒント 3

分子は $3 - (2 - 1)^{2}$ です。これを計算してから、 $6 = 2 \times 3$ で約分し、分母を有理化しましょう。

答えと解説

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\frac{2 3}{3}

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解説を読む

分子の $3 + 2 - 1$ と $3 - 2 + 1$ は、 $2 - 1 = A$ とおくと
$3 + 2 - 1 = 3 + A, 3 - 2 + 1 = 3 - (2 - 1) = 3 - A$
と表せます。乗法公式 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ を使うと
$(3 + A) (3 - A) = (3)^{2} - A^{2} = 3 - A^{2}$
ここで
$A^{2} = (2 - 1)^{2} = 2 - 22 + 1 = 3 - 22$
なので、分子は
$3 - (3 - 22) = 22$
よって
$\frac{2 2}{6} = \frac{2 2}{2 \times 3} = \frac{2}{3} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{2 3}{3}$

別解

分子は $(3 + (2 - 1)) (3 - (2 - 1)) = (3)^{2} - (2 - 1)^{2}$ 。
$(2 - 1)^{2} = 2 - 22 + 1 = 3 - 22$ なので、分子は $3 - (3 - 22) = 22$ 。
よって $\frac{2 2}{6} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}$ 。
検算: $\frac{2 3}{3} \approx 1.1547$ 。分子は $(1.732 + 1.414 - 1) (1.732 - 1.414 + 1) = 2.146 \times 1.318 \approx 2.828$ 、 $2.828 \div 2.449 \approx 1.155$ で一致。

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