2次方程式の解の配置

2次方程式 $f (x) = 0$ の解が「ともに $k$ より大きい」「 $k$ をはさむ」「区間 $α < x < β$ に少なくとも1つある」などの条件を、判別式・軸の位置・端点での値 $f (k)$ の符号に言い換えて、係数の値の範囲を求められる

前提

2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）

説明

2次方程式 $f (x) = 0$ の解を求めなくても、係数に含まれる文字の値の範囲を決められるようになります。たとえば「2つの解がともに $k$ より大きい」「 $k$ が2つの解の間にある」「区間 $α < x < β$ に解が少なくとも1つある」といった条件です。解の公式で解を出すと根号を含む不等式になり、扱いにくくなります。そこで $y = f (x)$ のグラフを使い、判別式・軸の位置・端点での値 $f (k)$ の符号という見やすい条件に言い換えます。

なぜそうしてよいのか

$x^{2}$ の係数が正なら、 $y = f (x)$ のグラフは下に凸な放物線です。 $f (x) = 0$ の実数解は、グラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標です。異なる2つの実数解を $p < q$ とすると、2次不等式で学んだとおり、 $f (x) < 0$ となるのは $p < x < q$ のときだけで、 $x < p$ や $x > q$ では $f (x) > 0$ です。

したがって $f (k) < 0$ なら、 $k$ は2解の間にあります。 $f (k) > 0$ なら、 $k$ は2解の外側にあります。ただし、2解が $k$ の右側と左側のどちらにあるかは $f (k)$ だけでは決まりません。それを決めるのが軸です。放物線は軸について対称なので、軸は2解の真ん中 $x = \frac{p + q}{2}$ にあります。また、グラフが $x$ 軸と交わらなければ、どの $k$ でも $f (k) > 0$ になります。そのため、判別式 $D > 0$ も別に必要です。まとめると、「異なる2解がともに $k$ より大きい」は「 $D > 0$ 、軸 $> k$ 、 $f (k) > 0$ 」と同じです。区間 $α < x < β$ に異なる2解がある場合も、同じ考え方で決まります。条件は $D > 0$ 、 $α <$ 軸 $< β$ 、 $f (α) > 0$ 、 $f (β) > 0$ です。重解（ $D = 0$ ）のときは、その解が軸の位置 $x = ($ 軸の値 $)$ にあります。

区間の両端で符号が逆になる $f (α) f (β) < 0$ を考えます。 $f (α) < 0 < f (β)$ のときを調べます。 $f (α) < 0$ なので、まず $D > 0$ であり、 $p < α < q$ です。次に $β > α > p$ で $f (β) > 0$ なので、 $β > q$ です。よって $p < α < q < β$ となります。 $f (α) > 0 > f (β)$ のときも同様に $α < p < β < q$ です。つまり $f (α) f (β) < 0$ は、「区間内に解がちょうど1つあり、もう1つの解は $x < α$ または $x > β$ にある」ことと同じです。一方、次の場合は $f (α) f (β) < 0$ に含まれません。区間内に2解がある場合（ $f (α) > 0$ , $f (β) > 0$ ）、区間内に重解がある場合（ $f (α) > 0$ , $f (β) > 0$ ）、端点自身が解になる場合（積が $0$ ）です。そこで「区間 $α < x < β$ に少なくとも1つの解」は、次の4つの場合を合わせたものになります。(A) $f (α) f (β) < 0$ 、(B) 区間内に異なる2解、(C) 区間内に重解、(D) 端点が解で、もう1つの解が区間内にある。解が区間内にあるときの解の並び方はこの4通りしかないので、これで全部です。

手順

$x^{2}$ の係数を正にする。負なら両辺に $- 1$ を掛ける。係数が文字 $a$ を含むときは、 $a \neq = 0$ を確かめてから両辺を $a$ で割る。左辺を $f (x)$ とおき、平方完成して軸 $x = ($ 軸の値 $)$ を求める。
問題の条件を、下に凸な放物線と $x$ 軸の交わり方の図にかく。
$k$ との位置の条件は、次のように言い換える。ともに $k$ より大きい： $D > 0$ 、軸 $> k$ 、 $f (k) > 0$ 。ともに $k$ より小さい： $D > 0$ 、軸 $< k$ 、 $f (k) > 0$ 。 $k$ をはさむ： $f (k) < 0$ だけでよい。
区間 $α < x < β$ についての条件は、次のように言い換える。(A) 区間内に解がちょうど1つあり、もう1つの解は $x < α$ か $x > β$ にある： $f (α) f (β) < 0$ 。区間内の重解や、端点が解になる場合はここに含まれない。(B) 区間内に異なる2解： $D > 0$ 、 $α <$ 軸 $< β$ 、 $f (α) > 0$ 、 $f (β) > 0$ 。(C) 区間内に重解： $D = 0$ かつ $α <$ 軸 $< β$ 。
それぞれの条件を、係数に含まれる文字についての不等式（または方程式）として解き、1つの場合の中の条件をすべてみたす共通範囲を求める。
「区間に少なくとも1つ」のときは、(A)(B)(C) の結果に (D) を加えて合わせる。(D) は次のように調べる。 $f (α) = 0$ とおいて文字の値を求める。その値をもとの方程式に代入して実際に解き、もう1つの解が $α < x < β$ にあればその値を答えに含める。重解で $x = α$ だけのときは含めない。 $f (β) = 0$ についても同じように調べる。

例題

$x$ の2次方程式 $x^{2} - 2 m x + m + 2 = 0$ が異なる2つの実数解をもち、その2つの解がともに $1$ より大きいような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

手順1： $x^{2}$ の係数はすでに正である。 $f (x) = x^{2} - 2 m x + m + 2$ とおいて平方完成すると、 $f (x) = (x - m)^{2} - m^{2} + m + 2$ となる。よって軸は $x = m$ である。
手順2：下に凸な放物線が、 $x = 1$ より右側で $x$ 軸と2点で交わる図になる。
手順3：「ともに $1$ より大きい」ので、条件は (i) $D > 0$ 、(ii) 軸 $m > 1$ 、(iii) $f (1) > 0$ の3つである。
手順5：それぞれを $m$ について解く。
(i) $\frac{D}{4} = m^{2} - (m + 2) = m^{2} - m - 2 = (m - 2) (m + 1) > 0$ より、 $m < - 1$ または $m > 2$ 。
(ii) $m > 1$ 。
(iii) $f (1) = 1 - 2 m + m + 2 = 3 - m > 0$ より、 $m < 3$ 。
(i)(ii)(iii) の共通範囲を求めると、 $2 < m < 3$ である。

答え: $2 < m < 3$

よくある誤り

判別式と軸だけを調べて、 $f (k)$ の符号を忘れる誤り。例題で $f (1) > 0$ を落とすと $m > 2$ になる。しかし $m = 4$ のときの方程式 $x^{2} - 8 x + 6 = 0$ の解は $4 \pm 10$ で、 $4 - 10 < 1$ となり条件をみたさない。正しくは $f (1) = 3 - m > 0$ も加えて $2 < m < 3$ 。
軸と $f (k)$ だけを調べて、判別式を忘れる誤り。例題で $m = \frac{3}{2}$ とすると、軸 $\frac{3}{2} > 1$ と $f (1) = \frac{3}{2} > 0$ はみたす。しかし $\frac{D}{4} = \frac{9}{4} - \frac{7}{2} < 0$ なので、実数解がない。正しくは $D > 0$ も必ず条件に入れる。
「区間 $α < x < β$ に少なくとも1つの解」を $f (α) f (β) < 0$ だけで済ませてしまう誤り。区間 $0 < x < 4$ で考える。 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ は解 $1, 3$ がともに区間内にあるのに、 $f (0) f (4) = 3 \cdot 3 > 0$ となる。 $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ は区間内の重解 $2$ をもつのに、 $f (0) f (4) = 4 \cdot 4 > 0$ となる。 $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ は解 $1$ が区間内にあるのに、 $f (0) f (4) = 4 \cdot 0 = 0$ となる。正しくは (A) $f (α) f (β) < 0$ 、(B) 区間内に異なる2解、(C) 区間内に重解、(D) 端点が解でもう1つの解が区間内、をすべて調べて合わせる。
不等号に等号をつけて $f (k) ≧ 0$ としてしまう誤り。 $f (k) = 0$ のときは $k$ 自身が解になり、「 $k$ より大きい」をみたさない。正しくは $f (k) > 0$ 。同じように、重解を含めない「異なる2つの実数解」なら、 $D ≧ 0$ ではなく $D > 0$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

置き換えによる方程式の解の存在（数学I 2次関数）
置き換えた指数方程式の解の個数・配置（数学II 指数関数と対数関数）