2次関数の問題

$x=0$ を代入すると左辺は $1$ なので、$x=0$ は解ではない。両辺を $x^2$ で割ると
$$x^2+\frac{1}{x^2}-a\left(x+\frac{1}{x}\right)+a^2-3=0$$
となる。$t=x+\frac{1}{x}$ とおくと $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ なので、
$$t^2-at+a^2-5=0(1)$$
が得られる。$g(t)=t^2-at+a^2-5$ とおく。

$t$ と $x$ の対応 $x+\frac{1}{x}=t$ は $x^2-tx+1=0(2)$ と同値である。$(2)$ の判別式は $t^2-4$ なので、
- $|t|>2$ のとき、$(2)$ は異なる 2 つの実数解をもつ（$x=0$ は $(2)$ の解ではない）。
- $|t|=2$ のとき、$(2)$ は重解を 1 つもつ（$t=2$ なら $x=1$、$t=-2$ なら $x=-1$）。
- $|t|<2$ のとき、$(2)$ は実数解をもたない。

また、$x$ を決めれば $t$ はただ 1 つに決まるので、$(1)$ の異なる解 $t$ から得られる $x$ どうしが重なることはない。

場合分け 元の方程式の異なる実数解がちょうど $2$ 個になるのは、次のいずれかの場合である。

(i) $(1)$ が重解 $t_0$ をもち、$|t_0|>2$ のとき。$(1)$ の判別式は
$$D=a^2-4(a^2-5)=20-3a^2$$
で、$D=0$ のとき $a^2=\frac{20}{3}$、重解は $t_0=\frac{a}{2}$ である。このとき $t_0^2=\frac{a^2}{4}=\frac{5}{3}<4$ より $|t_0|<2$ となり、条件を満たさない。よってこの場合はない。

(ii) $(1)$ が異なる 2 つの解 $-2,2$ をもつとき（それぞれから $x$ が 1 個ずつ得られる）。解と係数の関係より、解の和 $a=0$、解の積 $a^2-5=-4$ が必要だが、$a=0$ のとき $a^2-5=-5\ne -4$ なので、この場合はない。

(iii) $(1)$ が異なる 2 つの実数解をもち、一方が $|t|>2$、他方が $|t|<2$ を満たすとき。すなわち一方の解が $-2<t<2$ にあり、他方の解が $t<-2$ または $t>2$ にあるとき。

$y=g(t)$ のグラフは下に凸の放物線であるから、(iii) は $g(-2)$ と $g(2)$ が異符号であること、すなわち
$$g(-2)g(2)<0$$
と同値である。（$g(-2),g(2)$ のうち負の方の点は 2 解の間にあり、正の方の点は 2 解の外側にあるので、区間 $-2<t<2$ にちょうど 1 つの解が入る。逆も同様。）

なお、(1) の解の一方が $\pm 2$ で他方が $|t|\ne 2$ の場合、実数解の個数は $1+2=3$ または $1+0=1$ であり、$2$ にはならない。

計算
$$g(2)=4-2a+a^2-5=a^2-2a-1,g(-2)=4+2a+a^2-5=a^2+2a-1$$
より
$$g(-2)g(2)=(a^2-1{)}^2-(2a{)}^2=a^4-6a^2+1.$$
$a^4-6a^2+1<0$ を $a^2$ についての 2 次不等式とみると、$a^2=3\pm 2\sqrt{2}$ が境目で、
$$3-2\sqrt{2}<a^2<3+2\sqrt{2}.$$
ここで $3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1{)}^2$, $3+2\sqrt{2}=(\sqrt{2}+1{)}^2$ なので
$$\sqrt{2}-1<|a|<\sqrt{2}+1.$$

以上より、求める範囲は
$$-1-\sqrt{2}<a<1-\sqrt{2},\sqrt{2}-1<a<\sqrt{2}+1.$$

（確認：$a=1$ のとき $(1)$ は $t^2-t-4=0$ で、$t=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}\approx 2.56,-1.56$。$x$ は $2$ 個となり適する。）

$x=0$ は解でないので、両辺を $x^2$ で割ると $x^2+\frac{1}{x^2}-a\left(x+\frac{1}{x}\right)+a^2-3=0$ となる。$t=x+\frac{1}{x}$ とおくと $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ なので、$f(t)=t^2-at+a^2-5=0$ を得る。

実数 $x$ が存在するための条件は $|t|\ge 2$ である。1 つの $t$ に対する実数解 $x$ の個数は次のとおり。
- $|t|>2$ のとき 2 個
- $|t|=2$ のとき 1 個（$x=\pm 1$）
- $|t|<2$ のとき 0 個

異なる $t$ からは異なる $x$ が得られる。実数解がちょうど 2 個となるのは次のいずれかである。
(i) $f(t)=0$ の異なる 2 実数解のうち、一方が $|t|>2$、他方が $|t|<2$ である。
(ii) $|t|>2$ の重解をもつ。
(iii) $t=2$ と $t=-2$ を解にもつ。

(ii) の検討：重解の条件は判別式 $20-3a^2=0$ で、このとき $t=a/2$、$a^2=20/3$ より $|t|<2$ となり不適。

(iii) の検討：解の和が $0$ なので $a=0$ となるが、このとき積は $-5\ne -4$ で不適。

(i) の検討：$f(t)$ の $t^2$ の係数は正である。したがって、一方の解が $|t|>2$、他方が $|t|<2$ となる条件は $f(2)f(-2)<0$ である。$f(2)=a^2-2a-1$、$f(-2)=a^2+2a-1$ より
$(a^2-1{)}^2-4a^2=a^4-6a^2+1<0$。
よって $3-2\sqrt{2}<a^2<3+2\sqrt{2}$、すなわち $(\sqrt{2}-1{)}^2<a^2<(\sqrt{2}+1{)}^2$ から $\sqrt{2}-1<|a|<\sqrt{2}+1$。

端点の確認：$f(\pm 2)=0$ のとき、$a=\pm (1+\sqrt{2})$ では他方の解が $|t|<2$ となり実数解は 1 個、$a=\pm (\sqrt{2}-1)$ では他方の解が $|t|>2$ となり実数解は 3 個。どちらも不適。

検算：$a=1$ のとき $t^2-t-4=0$ で $t=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}\approx 2.56,-1.56$。$|t|>2$ の解が 1 つだけなので実数解は 2 個となり、条件に合う。

よって $-\sqrt{2}-1<a<-\sqrt{2}+1$ または $\sqrt{2}-1<a<\sqrt{2}+1$。