指数関数と対数関数の問題

$t=2^x+2^{-x}$ とおく。

$t$ のとり得る値の範囲

$2^x>0,2^{-x}>0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係より
$$t=2^x+2^{-x}\geqq 2\sqrt{2^x\cdot 2^{-x}}=2$$
となる。等号は $2^x=2^{-x}$、すなわち $x=0$ のときに成り立つ。

方程式を $t$ で表す

$t^2=4^x+2+4^{-x}$ より $4^x+4^{-x}=t^2-2$ である。よって方程式は
$$t^2-2-at+7=0⟺t^2-at+5=0(1)$$
となる。

$t$ の値 $1$ つに対応する $x$ の個数

$u=2^x(u>0)$ とおくと、$t=u+\frac{1}{u}$ より
$$u^2-tu+1=0(2)$$
となる。$(2)$ の判別式は $t^2-4$ である。

• $t>2$ のとき:判別式は正なので、$(2)$ は異なる $2$ つの実数解をもつ。2 解の和は $t>0$、積は $1>0$ なので、どちらも正である。$u=2^x$ は $x$ について単調増加なので、対応する $x$ も異なる $2$ 個になる。
• $t=2$ のとき:$u=1$ の $1$ つだけなので、$x=0$ の $1$ 個である。
• $t<2$ のとき:対応する $x$ はない。

また、$t$ の値が異なれば対応する $x$ も異なる。

条件の言い換え

$(1)$ は $t$ の $2$ 次方程式なので、$t$ の解は高々 $2$ 個である。$x$ の解がちょうど $4$ 個になるのは、$(1)$ が $t>2$ の範囲に異なる $2$ つの実数解をもつときだけである。$t>2$ の解が $1$ 個以下なら、$x$ の解は高々 $3$ 個にとどまる。

条件を満たす $a$ の範囲

$g(t)=t^2-at+5$ とおく。$g(t)=0$ が $t>2$ に異なる $2$ 解をもつ条件は、次の $3$ つである。

(i) 判別式 $D=a^2-20>0$。よって $a<-2\sqrt{5}$ または $a>2\sqrt{5}$。

(ii) 軸 $t=\frac{a}{2}>2$。よって $a>4$。

(iii) $g(2)=4-2a+5=9-2a>0$。よって $a<\frac{9}{2}$。

$2\sqrt{5}=\sqrt{20}$ と $4=\sqrt{16}$ を比べると $2\sqrt{5}>4$ であり、${\left(\frac{9}{2}\right)}^2=\frac{81}{4}>20$ より $\frac{9}{2}>2\sqrt{5}$ である。よって (i)〜(iii) を同時に満たす範囲は
$$2\sqrt{5}<a<\frac{9}{2}$$
である。

$t=2^x+2^{-x}$ とおく。相加・相乗平均より $t\ge 2$ で、等号は $x=0$ のときのみ成り立つ。$t>2$ のとき $t=2^x+2^{-x}$ を満たす実数 $x$ はちょうど 2 個、$t=2$ のときは $x=0$ の 1 個である。

$4^x+4^{-x}=t^2-2$ より、方程式は $t^2-at+5=0$ となる。

元の方程式が異なる 4 つの実数解をもつ条件は、この 2 次方程式が $t>2$ の異なる 2 実数解をもつことである。$f(t)=t^2-at+5$ とおくと、条件は次の 3 つ。

1. 判別式 $a^2-20>0$。$a$ が正の範囲では $a>2\sqrt{5}$。
2. 軸 $a/2>2$ より $a>4$。
3. $f(2)=9-2a>0$ より $a<\frac{9}{2}$。

これらを合わせると $2\sqrt{5}<a<\frac{9}{2}$ である。$2\sqrt{5}\approx 4.472<4.5$ なので、この範囲は空ではない。

検算：$a=4.5$ のとき解は $t=2,2.5$ で、$x$ は 3 個になり不適。$a=2\sqrt{5}$ のときは重解で、$x$ は 2 個になり不適。$a=4.48$ のとき $t^2-4.48t+5=0$ の判別式は $20.0704-20>0$、$f(2)=0.04>0$、軸は $2.24>2$ で条件を満たす。