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指数関数と対数関数の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学II 指数関数と対数関数

$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$(lo g_{2} x)^{2} + a lo g_{\frac{1}{2}} x^{2} + a + 2 = 0$
が $1 ≦ x ≦ 8$ の範囲に異なる $2$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

対数の定義と性質（説明と入口の問題）
対数の置き換えと最大・最小（説明と入口の問題）
2次方程式の解の配置（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（33 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

底をそろえて $t = lo g_{2} x$ とおき、 $t$ の $2$ 次方程式に帰着させましょう。 $x$ の範囲が $t$ のどんな範囲に対応するかにも注意します。

ヒント 2

$lo g_{\frac{1}{2}} x^{2} = - 2 lo g_{2} x$ より、方程式は $t^{2} - 2 a t + a + 2 = 0$ となります。これが $0 ≦ t ≦ 3$ に異なる $2$ 解をもつ条件を、判別式・軸の位置・区間の両端での符号の $3$ つの観点から立てましょう。

ヒント 3

$g (t) = t^{2} - 2 a t + a + 2$ とおくと、条件は $\frac{D}{4} = (a - 2) (a + 1) > 0$ 、 $0 < a < 3$ 、 $g (0) = a + 2 ≧ 0$ 、 $g (3) = 11 - 5 a ≧ 0$ です。これらの共通部分を求め、端の値で本当に $2$ 解になるかも確かめましょう。

答えと解説

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2 < a ≦ \frac{11}{5}

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解説を読む

$x > 0$ のとき、底の変換公式により
$lo g_{\frac{1}{2}} x^{2} = \frac{lo g _{2} x ^{2}}{lo g _{2} \frac{1}{2}} = \frac{2 lo g _{2} x}{- 1} = - 2 lo g_{2} x$
である。 $t = lo g_{2} x$ とおくと、方程式は
$t^{2} - 2 a t + a + 2 = 0 (1)$
となる。

$1 ≦ x ≦ 8$ のとき $0 ≦ t ≦ 3$ である。 $t = lo g_{2} x$ は $x$ について単調増加なので、 $x$ と $t$ は $1$ 対 $1$ に対応する。よって、もとの方程式が $1 ≦ x ≦ 8$ に異なる $2$ つの実数解をもつ条件は、 $(1)$ が $0 ≦ t ≦ 3$ に異なる $2$ つの実数解をもつことである。

$g (t) = t^{2} - 2 a t + a + 2$ とおく。 $g (t) = (t - a)^{2} - a^{2} + a + 2$ より、放物線 $y = g (t)$ の軸は $t = a$ である。 $(1)$ が $0 ≦ t ≦ 3$ に異なる $2$ つの実数解をもつ条件は、次の $4$ つがすべて成り立つことである。

$(i)$ 判別式 $D$ について $\frac{D}{4} = a^{2} - (a + 2) = (a - 2) (a + 1) > 0$ より $a < - 1$ または $a > 2$

$(ii)$ 軸について $0 < a < 3$

$(iii)$ $g (0) = a + 2 ≧ 0$ より $a ≧ - 2$

$(iv)$ $g (3) = 9 - 6 a + a + 2 = 11 - 5 a ≧ 0$ より $a ≦ \frac{11}{5}$

$(i)$ と $(ii)$ の共通部分は $2 < a < 3$ であり、これと $(iii)$ , $(iv)$ をあわせて $2 < a ≦ \frac{11}{5}$ を得る。

確認として、 $a = \frac{11}{5}$ のとき $g (t) = t^{2} - \frac{22}{5} t + \frac{21}{5} = (t - 3) (t - \frac{7}{5})$ となり、解 $t = 3, \frac{7}{5}$ はともに $0 ≦ t ≦ 3$ にある。したがって $a = \frac{11}{5}$ は条件を満たす。一方、 $a = 2$ のとき $g (t) = (t - 2)^{2}$ となり、解は $t = 2$ のみなので不適である。

以上より、求める範囲は
$2 < a ≦ \frac{11}{5}$

別解

$t = lo g_{2} x$ とおくと、 $1 ≦ x ≦ 8$ は $0 ≦ t ≦ 3$ に対応し、 $t$ と $x$ は 1 対 1 に対応する。また $lo g_{1/2} x^{2} = - 2 t$ だから、方程式は $f (t) = t^{2} - 2 a t + a + 2 = 0$ となる。

したがって、 $f (t) = 0$ が $0 ≦ t ≦ 3$ に異なる 2 つの実数解をもつ条件を求めればよい。

1. 判別式 $D /4 = a^{2} - a - 2 > 0$ より、 $a < - 1$ または $a > 2$ 。
2. 軸 $t = a$ について、 $0 ≦ a ≦ 3$ 。
3. $f (0) = a + 2 ≧ 0$ より、 $a ≧ - 2$ 。
4. $f (3) = 11 - 5 a ≧ 0$ より、 $a ≦ \frac{11}{5}$ 。

1 と 2 から $a > 2$ 。これと 4 を合わせると $2 < a ≦ \frac{11}{5}$ 。3 はこれを満たす。

検算： $a = \frac{11}{5}$ のとき $t^{2} - \frac{22}{5} t + \frac{21}{5} = 0$ を解くと $t = 3, \frac{7}{5}$ で、ともに $[0, 3]$ に入る。 $a = 2$ のときは重解になるので不適。 $a = 2.1$ のとき $t^{2} - 4.2 t + 4.1 = 0$ の解は $t = 2.1 \pm 0.31$ 、すなわち約 $1.54, 2.66$ で、ともに範囲内にある。

答え： $2 < a ≦ \frac{11}{5}$

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