指数関数と対数関数の問題

$t=2^x$ とおく。$x$ が実数全体を動くとき $t$ は $t>0$ の範囲を動き、$x$ と $t$ は $1$ 対 $1$ に対応する。また
$$x<0⟺0<t<1,x=0⟺t=1,x>0⟺t>1$$
である。$8^x=t^3$, $4^x=t^2$ より、方程式は
$$t^3-3t^2-9t+a=0⟺t^3-3t^2-9t=-a$$
となる。

$g(t)=t^3-3t^2-9t(t>0)$ とおくと
$$g^{\prime }(t)=3t^2-6t-9=3(t-3)(t+1)$$
であるから、$t>0$ において $g(t)$ は $0<t<3$ で減少し、$t>3$ で増加する。
$$g(0)=0,g(1)=1-3-9=-11,g(3)=27-27-27=-27$$
であり、$t\to \infty$ のとき $g(t)\to \infty$ である。

したがって、曲線 $y=g(t)(t>0)$ と直線 $y=-a$ の共有点を考えると、
- $-a\geqq 0$ すなわち $a\leqq 0$ のとき：共有点は $t>3$ の部分に $1$ 個（$t=0$ は範囲外）。
- $-27<-a<0$ すなわち $0<a<27$ のとき：$0<t_1<3$ と $t_2>3$ の $2$ 個。
- $-a=-27$ すなわち $a=27$ のとき：$t=3$ の $1$ 個。
- $-a<-27$ のとき：$0$ 個。

よって、方程式が異なる $2$ つの実数解をもつのは $0<a<27$ のときで、このとき解は $t_1(0<t_1<3)$, $t_2(t_2>3)$ に対応する。$t_2>3>1$ より $t_2$ に対応する $x$ は常に正である。したがって条件は $t_1$ に対応する $x$ が負、すなわち $0<t_1<1$ となることである。

$g$ は $0<t<3$ で減少し、$g(0)=0$, $g(1)=-11$ なので、$0<t_1<1$ となるのは
$$-11<-a<0⟺0<a<11$$
のときである（$a=11$ のときは $t_1=1$ すなわち $x=0$ となり不適）。

以上より、求める範囲は $0<a<11$ である。

$t=2^x>0$ とおくと、方程式は $t^3-3t^2-9t+a=0$、すなわち $a=-t^3+3t^2+9t=g(t)$ となる。$t$ と $x$ は 1 対 1 に対応する。$x$ が正のとき $t>1$、負のとき $0<t<1$、$x=0$ のとき $t=1$ である。

$g^{\prime }(t)=-3t^2+6t+9=-3(t-3)(t+1)$ より、$t>0$ では $g$ は $t=3$ まで増加し、その後減少する。
$g(0)=0$, $g(1)=11$, $g(3)=27$ であり、$t\to \infty$ で $g\to -\infty$ となる。

条件は、$0<t<1$ に解が 1 個、$t>1$ に解が 1 個あり、他に正の解がないことである。

• $0<t<1$ では $g$ は $0$ から $11$ まで単調増加するので、解をもつのは $0<a<11$ のときで、解は 1 個。
• $1<t\le 3$ では $g$ の値は $11<g\le 27$ で、$a<11$ のときここに解はない。
• $t>3$ では $g$ は $27$ から $-\infty$ まで単調減少するので、$a<27$ なら解がちょうど 1 個ある。

よって $0<a<11$ のとき、$0<t<1$ に 1 個、$t>3$ に 1 個で、実数解 $x$ はちょうど 2 個になり、一方が負、他方が正である。

端の確認：
- $a=0$ のとき、$t>0$ の解は $t=\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$ の 1 個だけ（$t=0$ は不適）。条件を満たさない。
- $a=11$ のとき、$t=1$ すなわち $x=0$ が解になり、負の解がない。条件を満たさない。

検算として $a=5$ を考える。$g(0.5)=-0.125+0.75+4.5=5.125>5$ なので、$0<t<0.5$ に解がある。また $g(4)=-64+48+36=20>5$、$g(5)=-125+75+45=-5<5$ なので、$4<t<5$ に解がある。これで正負 1 個ずつの解がそろっている。

答えは $0<a<11$。