指数関数と対数関数の問題

$t=2^x$ とおく。

$y=2^x$ のグラフは単調に増加し、値域は $t>0$ 全体である。したがって、$t>0$ の各値に対して $2^x=t$ を満たす実数 $x$ はただ $1$ つ定まる。

さらに $x>0⟺2^x>2^0=1$ なので、$x>0⟺t>1$ である。

よって「$x$ の方程式が異なる $2$ つの正の解をもつ」ことは、「$t$ の方程式が $t>1$ の範囲に異なる $2$ つの解をもつ」ことと同値である。

$4^x=(2^x{)}^2=t^2$、$2^{x+1}=2t$ より、方程式は
$$t^2-2at+a+6=0$$
となる。左辺を $f(t)=t^2-2at+a+6$ とおく。

$y=f(t)$ のグラフは下に凸の放物線で、軸は $t=a$ である。$f(t)=0$ が $t>1$ に異なる $2$ つの解をもつための条件は、次の $(1)$〜$(3)$ がすべて成り立つことである。

$(1)$ 判別式 $D$ について $D>0$
$$\frac{D}{4}=a^2-(a+6)=a^2-a-6=(a-3)(a+2)>0$$
より $a<-2$ または $a>3$。

$(2)$ 軸が $t>1$ の範囲にある: $a>1$。

$(3)$ $f(1)>0$
$$f(1)=1-2a+a+6=7-a>0$$
より $a<7$。

$(1)$〜$(3)$ の共通範囲を求めると $3<a<7$ となる。

(確認) $a=5$ のとき $t^2-10t+11=0$ の解は $t=5\pm \sqrt{14}$ である。$\sqrt{14}<4$ より $5-\sqrt{14}>1$ なので、$2$ つの解はともに $1$ より大きく、条件を満たす。

$a=7$ のときは $f(1)=0$ となり、$t=1$、すなわち $x=0$ が解になるため、正の解が $2$ つにはならない。

答え: $3<a<7$

$t=2^x$ とおくと、$x>0⟺t>1$ であり、$t$ と $x$ は 1 対 1 に対応する。方程式は $t^2-2at+a+6=0$ となる。よって、この $t$ の 2 次方程式が $t>1$ の異なる 2 つの実数解をもつ条件を求めればよい。

$f(t)=t^2-2at+a+6$ とおく。

1. 判別式について、$D/4=a^2-a-6=(a-3)(a+2)>0$ より $a<-2$ または $a>3$。
2. 軸について、$t=a>1$ より $a>1$。
3. $f(1)=1-2a+a+6=7-a>0$ より $a<7$。

3 つの条件を合わせて $3<a<7$。

検算として $a=4$ を代入すると $t^2-8t+10=0$ となり、$t=4\pm \sqrt{6}$。どちらも $1$ より大きいので条件を満たす。$a=7$ では $t^2-14t+13=0$ より $t=1,13$ となり、$t=1$ は $x=0$ に対応するので不適。$a=3$ では重解になるので不適。いずれも境界が除外されることと整合する。