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指数関数と対数関数

扱うテーマ: 指数の拡張と計算、指数関数のグラフと方程式・不等式、対数の性質と計算、対数関数を含む方程式・不等式、常用対数（桁数・小数第何位）

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
次の式の値を求めよ。 $8^{\frac{2}{3}} \times 1 6^{- \frac{3}{4}}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の式の値を求めよ。 $1 6^{\frac{3}{4}} \times 8^{- \frac{2}{3}} \div 2^{- 1}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の式の値を求めよ。 $1 6^{\frac{3}{4}} \times 8^{- \frac{2}{3}}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の式の値を求めよ。 $2 lo g_{3} 6 - lo g_{3} 4$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の式の値を求めよ。 $lo g_{3} 18 + 2 lo g_{3} 6 - lo g_{3} 8$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の式の値を求めよ。 $lo g_{2} 24 - lo g_{4} 9$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数とする。不等式
$(\frac{1}{2})^{x - 3} ≧ 4$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数とする。不等式
$(\frac{1}{3})^{2 x - 1} < 27$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数とする。不等式 $(\frac{1}{3})^{2 x - 1} < 27$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x$ が $3^{x} + 3^{- x} = 4$ を満たすとき、 $9^{x} + 9^{- x}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数 $x$ が $3^{x} + 3^{- x} = 4$ を満たすとき、 $9^{x} + 9^{- x}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
正の実数 $x$ が
$x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$
を満たすとき、 $x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
3つの数 $lo g_{3} 10, lo g_{9} 80, 2$ のうち、最も小さいものを求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
3つの数 $lo g_{2} 5$ , $lo g_{4} 30$ , $\frac{5}{2}$ のうち、最も小さいものを求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
3つの数 $lo g_{3} 5, lo g_{9} 20, \frac{3}{2}$ のうち、最も大きい数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$3^{40}$ は何桁の整数か求めよ。ただし、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$3^{40}$ は何桁の整数か求めよ。ただし、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$3^{40}$ は何桁の整数か求めよ。ただし、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
方程式 $9^{x} - 10 \cdot 3^{x} + 9 = 0$ を満たす実数 $x$ をすべて求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
方程式 $9^{x} - 8 \cdot 3^{x} - 9 = 0$ を満たす実数 $x$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
方程式 $9^{x} - 8 \cdot 3^{x} - 9 = 0$ を満たす実数 $x$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数とする。不等式 $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) > lo g_{\frac{1}{4}} (x + 5)$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数とする。不等式 $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 3) ≧ lo g_{\frac{1}{4}} (x - 1)$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数とする。不等式 $lo g_{\frac{1}{2}} (x + 1) < lo g_{\frac{1}{4}} (x + 7)$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ は正の整数とする。 $(\frac{3}{5})^{n}$ を小数で表したとき、小数第 $4$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるような $n$ は何個あるか求めよ。ただし、 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ , $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$lo g_{10} 2 = 0.3010$ , $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。 $(\frac{1}{6})^{15}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$lo g_{10} 2 = 0.3010$ , $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。 $(\frac{3}{4})^{50}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$9^{x} - 2 a \cdot 3^{x} + a + 2 = 0$
が異なる $2$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式 $9^{x} - 2 a \cdot 3^{x} + 3 a - 1 = 0$ が異なる $2$ つの負の実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$9^{x} - 2 a \cdot 3^{x} + a + 3 = 0$
が正の解と負の解を $1$ つずつもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 16$ を満たす実数とする。関数
$f (x) = (lo g_{2} x)^{2} - lo g_{2} x^{4} + 5$
の最大値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は $\frac{1}{3} ≦ x ≦ 27$ を満たす実数とする。関数 $y = (lo g_{3} x)^{2} - lo g_{3} x^{4} + 1$ の最大値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は $\frac{1}{3} ≦ x ≦ 27$ を満たす実数とする。関数 $y = (lo g_{3} x)^{2} - lo g_{3} x^{4} + 1$ の最大値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$3^{30}$ の最高位の数字を求めよ。ただし、 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$6^{20}$ の最高位の数字を求めよ。ただし、 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$6^{15}$ の最高位の数字を求めよ。ただし、 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$lo g_{10} 2 = 0.3010$ , $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。正の整数 $n$ に対して $(\frac{5}{6})^{n}$ を小数で表したとき、小数第 $10$ 位に初めて $0$ でない数字が現れるとする。このような正の整数 $n$ の個数を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
正の実数 $x$ が
$x^{\frac{1}{3}} - x^{- \frac{1}{3}} = 2$
を満たすとき、 $x + x^{- 1}$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
不等式
$(\frac{1}{4})^{x} - 9 (\frac{1}{2})^{x + 1} + 2 \leq 0$
を満たす実数 $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
正の実数 $x$ が
$x^{\frac{1}{3}} - x^{- \frac{1}{3}} = 2$
を満たすとき、 $x + x^{- 1}$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$4^{x} - a \cdot 2^{x + 1} + a + 6 = 0$
が異なる $2$ つの正の実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$x$ は実数とする。不等式
$lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) \geq lo g_{\frac{1}{4}} (x + 2) - 1$
を解け。
難易度 3（共通テストレベル）
$n$ は正の整数とする。 $(\frac{5}{6})^{n}$ を小数で表したとき、小数第 $3$ 位に初めて $0$ でない数字が現れ、しかもその数字が $1$ であるような $n$ をすべて求めよ。ただし、 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。
難易度 3（共通テストレベル）
$x$ は実数とする。不等式
$lo g_{\frac{1}{3}} (x - 1) + lo g_{9} (x + 5) > - \frac{1}{2}$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$n$ は正の整数とする。 $1 2^{n}$ は $30$ 桁の整数である。このとき、 $(\frac{2}{3})^{n}$ を小数で表すと、小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるか求めよ。ただし、 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。
難易度 3（共通テストレベル）
正の実数 $a$ が
$a^{\frac{1}{3}} - a^{- \frac{1}{3}} = 2$
を満たすとき、 $a + a^{- 1}$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$n$ は正の整数とする。 $5^{n}$ の桁数が $2^{n}$ の桁数のちょうど $2$ 倍になるような $n$ をすべて求めよ。ただし、 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ とする。
難易度 3（共通テストレベル）
正の実数 $x, y$ は $x \neq = 1, y \neq = 1$ を満たし、さらに
$x y = 32, lo g_{x} 4 + lo g_{y} 4 = \frac{5}{3}$
を満たしている。このとき、 $x + y$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$n$ は正の整数とする。 $3^{n}$ の桁数が $2^{n}$ の桁数よりちょうど $5$ だけ大きくなるような $n$ をすべて求めよ。ただし、 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。
難易度 3（共通テストレベル）
$x$ は正の実数とする。不等式
$x^{l o g_{4} x} ≧ 16 x$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
実数 $x$ は $x < 0$ を満たし、さらに
$4^{x} + 4^{- x} = 23$
を満たしている。このとき、
$\frac{8 ^{x} - 8 ^{- x}}{2 ^{x} + 2 ^{- x}}$
の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$1$ より大きい実数 $x, y$ が次の $2$ つの等式を満たしている。
$lo g_{2} (x y) = 10, lo g_{x} 4 + lo g_{y} 4 = \frac{20}{21}$
このとき、 $lo g_{x} y + lo g_{y} x$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (5 - x) = 2 lo g_{2} (x - a)$
が異なる $2$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a, b, c$ は $1$ でない正の実数で、
$lo g_{a} b = lo g_{b} c = lo g_{c} (a^{6} b)$
が成り立っている。このとき、 $lo g_{ab} c$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$n$ は正の整数とする。 $3^{n}$ の桁数が $2^{n}$ の桁数よりちょうど $10$ 大きくなるような $n$ をすべて求めよ。ただし、 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a > 1$ , $b > 1$ を満たす実数 $a$ , $b$ が
$lo g_{a} b = lo g_{b} (ab)$
を満たしている。このとき、 $lo g_{ab} (a^{2} b^{3})$ の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数 $x, y$ は $x > 1, y > 1$ を満たし、さらに
$x^{l o g_{2} y} = 64, x y ≦ 128$
を満たすとする。このとき、
$lo g_{x y} (x^{2} y^{3})$
のとりうる値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ の方程式
$4^{x} + 4^{- x} - a (2^{x} + 2^{- x}) + 7 = 0$
が異なる $4$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
不等式
$lo g_{x} 4 + lo g_{2 x} 2 ≧ lo g_{4 x} 8$
を満たす実数 $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数 $x$ についての不等式
$lo g_{2} (x + 1) - lo g_{x + 1} 16 \leq 2$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$n$ は正の整数とする。 $1 2^{n}$ が $(n + 3)$ 桁の整数であり、かつ $1 2^{n}$ の最高位の数字が $1$ であるような $n$ をすべて求めよ。ただし、 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ として計算せよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$x$ は $x > 0$ かつ $x \neq = 1$ を満たす実数とする。不等式
$lo g_{4} x^{2} + lo g_{x} 8 < 5$
を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$(lo g_{2} x)^{2} + a lo g_{\frac{1}{2}} x^{2} + a + 2 = 0$
が $1 ≦ x ≦ 8$ の範囲に異なる $2$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$x = (5 + 2)^{\frac{1}{3}}$ とする。このとき、 $x^{5} - x^{- 5}$ の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$8^{x} - 3 \cdot 4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + a = 0$
が異なる $2$ つの実数解をもち、さらにその一方が正、他方が負であるような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$2$ 以上 $1000$ 以下の整数 $a$ , $b$ の順序のついた組 $(a, b)$ のうち、 $lo g_{a} b$ が有理数となるものの個数を求めよ。ただし、 $a = b$ となる組も数える。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$x$ は実数とする。不等式 $lo g_{2} (3^{x} - 1) ≦ lo g_{3} (2^{x} + 1)$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
正の有理数 $x$ , $y$ が $x < y$ かつ
$x^{y} = y^{x}, y - x = \frac{64}{81}$
を満たしている。このとき、 $x$ の値を求めよ。