指数関数と対数関数の問題

方針　3つの数を、すべて底が $3$ の対数 ${\log }_3(\text{正の数})$ の形にそろえます。そのうえで、関数 $y={\log }_{3}x$ の増減を使って真数どうしを比べます。

手順1：底を $3$ にそろえる

${\log }_{9}80$ は、底の変換公式で底を $3$ に直します。
$${\log }_{9}80=\frac{{\log }_{3}80}{{\log }_{3}9}=\frac{{\log }_{3}80}{2}=\frac{1}{2}{\log }_{3}80={\log }_{3}80^{\frac{1}{2}}={\log }_3\sqrt{80}$$

$2$ は、$3^2=9$ なので次のように書けます。
$$2={\log }_{3}9$$

${\log }_{3}10$ はすでに底が $3$ です。

これで、比べる3つの数は ${\log }_{3}10,{\log }_3\sqrt{80},{\log }_{3}9$ になりました。

手順2：増減を判断する

$y={\log }_{3}x$ のグラフは、$y=3^x$ のグラフと直線 $y=x$ に関して対称です。底 $3$ は $1$ より大きいので $y=3^x$ は増加関数であり、$y={\log }_{3}x$ も $x>0$ で増加関数です。

したがって、真数が小さいほど対数の値も小さくなります。

手順3：真数を比べる

$\sqrt{80}<\sqrt{81}=9$ なので
$$\sqrt{80}<9<10$$
です。

$y={\log }_{3}x$ は増加関数だから、
$${\log }_3\sqrt{80}<{\log }_{3}9<{\log }_{3}10$$
すなわち
$${\log }_{9}80<2<{\log }_{3}10$$
が成り立ちます。

よって、最も小さいものは ${\log }_{9}80$ です。

$2={\log }_{9}81$ であり、${\log }_{9}x$ は $x$ について増加するので、$80<81$ より ${\log }_{9}80<2$ である。\n一方、$2={\log }_{3}9$ であり、$10>9$ より ${\log }_{3}10>2$ である。\nよって ${\log }_{9}80<2<{\log }_{3}10$ となり、最も小さいものは ${\log }_{9}80$ である。\n検算: ${\log }_{9}80=\frac{{\log }_{3}80}{2}\approx \frac{3.989}{2}\approx 1.99$、${\log }_{3}10\approx 2.096$ で、確かに ${\log }_{9}80$ が最小である。