指数関数と対数関数の問題

方針：3つの数を、底が $2$ の対数 ${\log }_2(\text{真数})$ の形にそろえます。そのうえで、関数 $y={\log }_{2}x$ の増減を使い、真数の大小を比べます。

手順1：底を $2$ にそろえる

底の変換公式より
$${\log }_{4}30=\frac{{\log }_{2}30}{{\log }_{2}4}=\frac{{\log }_{2}30}{2}=\frac{1}{2}{\log }_{2}30={\log }_{2}30^{\frac{1}{2}}={\log }_2\sqrt{30}$$
となります。

また、${\log }_2{2}^p=p$ を使うと
$$\frac{5}{2}={\log }_2{2}^{\frac{5}{2}}={\log }_2\sqrt{2^5}={\log }_2\sqrt{32}$$
となります。

さらに、$5=\sqrt{25}$ なので
$${\log }_{2}5={\log }_2\sqrt{25}$$
です。

手順2：真数を比べる

3つの真数は $\sqrt{25}$, $\sqrt{30}$, $\sqrt{32}$ です。$25<30<32$ なので
$$\sqrt{25}<\sqrt{30}<\sqrt{32}$$
が成り立ちます。

手順3：グラフの増減で判断する

$y={\log }_{2}x$ のグラフは、$y=2^x$ のグラフと直線 $y=x$ に関して対称です。底 $2$ は $1$ より大きいので、このグラフは右上がりになります。つまり $y={\log }_{2}x$ は増加関数で、真数が大きいほど値も大きくなります。したがって
$${\log }_2\sqrt{25}<{\log }_2\sqrt{30}<{\log }_2\sqrt{32}$$
すなわち
$${\log }_{2}5<{\log }_{4}30<\frac{5}{2}$$
です。

よって、最も小さいものは ${\log }_{2}5$ です。

3つの数をすべて $\frac{1}{2}{\log }_2(\cdot )$ の形にそろえて比べる。\n\n${\log }_{2}5=\frac{1}{2}{\log }_{2}25$\n\n${\log }_{4}30=\frac{{\log }_{2}30}{{\log }_{2}4}=\frac{1}{2}{\log }_{2}30$\n\n$\frac{5}{2}=\frac{1}{2}\cdot 5=\frac{1}{2}{\log }_{2}32$\n\n底 2 は 1 より大きいので ${\log }_{2}x$ は増加関数であり、$25<30<32$ より\n\n${\log }_{2}25<{\log }_{2}30<{\log }_{2}32$\n\nしたがって ${\log }_{2}5<{\log }_{4}30<\frac{5}{2}$ である。\n\n検算（近似値）: ${\log }_{2}5\approx 2.3219$、${\log }_{4}30\approx 2.4534$、$\frac{5}{2}=2.5$ で、大小関係は一致する。\n\nよって最も小さいのは ${\log }_{2}5$。