指数関数と対数関数の問題

手順1：常用対数を求める。

対数の性質 ${\log }_{10}{M}^r=r{\log }_{10}M$ を使うと
$${\log }_{10}{3}^{30}=30{\log }_{10}3=30\times 0.4771=14.313$$
となる。

手順2：整数部分と小数部分に分ける。

$${\log }_{10}{3}^{30}=14+0.313$$
である。よって
$$3^{30}=10^{14+0.313}=10^{0.313}\times 10^{14}$$
と表せる。$10^{14}$ は位取りを決めるだけなので、最高位の数字は $10^{0.313}$ の整数部分で決まる。

手順3：小数部分を ${\log }_{10}k$ と比べる。

${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ であるから
$${\log }_{10}2\le 0.313<{\log }_{10}3$$
が成り立つ。底 $10$ は $1$ より大きいので、真数の大小は対数の大小と一致する。したがって
$$2\le 10^{0.313}<3$$
である。

手順4：最高位の数字を読み取る。

各辺に $10^{14}$ をかけると
$$2\times 10^{14}\le 3^{30}<3\times 10^{14}$$
となる。よって $3^{30}$ は $15$ 桁の整数で、最高位の数字は $2$ である。

（参考：実際に $3^{30}=205891132094649$ である。）

答え：$2$

${\log }_{10}{3}^{30}=30\times 0.4771=14.313$ なので、$3^{30}=10^{14}\times 10^{0.313}$ である。
${\log }_{10}2=0.3010<0.313<0.4771={\log }_{10}3$ より $2<10^{0.313}<3$ となる。
よって $3^{30}$ は $10^{14}\times (2\text{より大きく}3\text{未満の数})$ で、最高位の数字は 2（15桁の数）。
検算：$3^{10}=59049$、$3^{30}=59049^3\approx 5.9049^3\times 10^{12}\approx 205.9\times 10^{12}=2.059\times 10^{14}$ となり、最高位は 2 で一致する。