最高位の数字

$lo g_{10} N$ の小数部分を $lo g_{10} k \leq (小数部分) < lo g_{10} (k + 1)$ と比べて、 $3^{20}$ や $(\frac{5}{6})^{n}$ の最高位（初めて $0$ でない位）の数字を求められる

前提

常用対数と小数第何位（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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常用対数と小数第何位（数学II 指数関数と対数関数）

説明

常用対数を使うと、 $6^{30}$ や $(\frac{5}{6})^{n}$ のように直接は計算できない数について、最高位の数字（初めて $0$ でない位の数字）がわかります。桁数や小数第何位かは $lo g_{10} N$ の整数部分で決まりました。最高位の数字は、残りの小数部分で決まります。小数部分を $lo g_{10} 2, lo g_{10} 3, \dots$ と比べれば、その数字が求まります。

なぜそうしてよいのか

$N > 0$ のとき、 $lo g_{10} N$ を整数 $m$ と $0 \leq α < 1$ を満たす $α$ を使って $lo g_{10} N = m + α$ と表します。このとき $N = 1 0^{m + α} = 1 0^{α} \times 1 0^{m}$ です。 $1 0^{m}$ を掛けても小数点の位置がずれるだけで、数字の並びは変わりません。また $1 0^{0} \leq 1 0^{α} < 1 0^{1}$ なので $1 \leq 1 0^{α} < 10$ です。したがって $N$ の最高位の数字は $1 0^{α}$ の一の位の数字と同じです。

$1 0^{α}$ の一の位が $k$ （ $k = 1, 2, \dots, 9$ ）であることは $k \leq 1 0^{α} < k + 1$ と同じです。底 $10$ は $1$ より大きいので、各辺の常用対数をとっても不等号の向きは変わらず、 $lo g_{10} k \leq α < lo g_{10} (k + 1)$ となります。 $lo g_{10} 1 = 0$ 、 $lo g_{10} 10 = 1$ なので、 $0$ から $1$ までが $lo g_{10} 2, \dots, lo g_{10} 9$ で $9$ つの区間に区切られます。 $α$ がどの区間に入るかを見れば、最高位の数字 $k$ が決まります。

$N < 1$ のときも同じ考え方が使えます。例えば $lo g_{10} N = - 9.3$ なら $- 9.3 = - 10 + 0.7$ と書き直して、 $α = 0.7$ を使います。 $m$ は整数、 $α$ は $0 \leq α < 1$ の範囲に入るように分けるのがポイントです。

手順

$lo g_{10} N$ を対数の性質で計算する（例: $lo g_{10} a^{n} = n lo g_{10} a$ ）。
$lo g_{10} N = m + α$ （ $m$ は整数、 $0 \leq α < 1$ ）の形に分け、小数部分 $α$ を取り出す。負の数なら $- 9.3 = - 10 + 0.7$ のように直す。
$lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ などから、 $lo g_{10} 4 = 2 lo g_{10} 2$ 、 $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ 、 $lo g_{10} 6 = lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3$ などを計算し、 $lo g_{10} 1 = 0$ から $lo g_{10} 10 = 1$ までの表を作る。
$lo g_{10} k \leq α < lo g_{10} (k + 1)$ を満たす $k$ を見つける。その $k$ が最高位の数字である。

例題

$lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。 $6^{30}$ の最高位の数字を求めよ。

例題の解答

手順1: $lo g_{10} 6 = lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$ より、 $lo g_{10} 6^{30} = 30 \times 0.7781 = 23.343$ である。

手順2: $23.343 = 23 + 0.343$ なので、小数部分は $α = 0.343$ である。

手順3: 比べる値を用意する。 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ である。

手順4: $0.3010 \leq 0.343 < 0.4771$ 、つまり $lo g_{10} 2 \leq α < lo g_{10} 3$ が成り立つ。これより $2 \times 1 0^{23} \leq 6^{30} < 3 \times 1 0^{23}$ となる。よって最高位の数字は $2$ である。

答え: $2$

よくある誤り

$lo g_{10} N$ が負のとき、小数部分を見た目の数字のまま取ってしまう誤り。例えば $lo g_{10} N = - 9.3$ で $α = 0.3$ とするのは誤りで、正しくは $- 9.3 = - 10 + 0.7$ より $α = 0.7$ である。
$lo g_{10} k \leq α < lo g_{10} (k + 1)$ の右端の $k + 1$ を答えてしまう誤り。 $0.3010 \leq 0.343 < 0.4771$ のとき、答えは $3$ ではなく左端の $2$ である。
$lo g_{10} 5$ を $lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3$ などと誤って計算する誤り。正しくは $lo g_{10} 5 = lo g_{10} \frac{10}{2} = 1 - lo g_{10} 2 = 0.6990$ である。
小数部分ではなく $lo g_{10} N$ 全体（例えば $23.343$ ）や整数部分で最高位を判断しようとする誤り。整数部分は桁数（位の高さ）を決め、最高位の数字は小数部分 $α$ だけで決まる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

最高位の数字

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