常用対数と桁数

$lo g_{10} 2 = 0.3010$ などの値を使って $lo g_{10} N$ を求め、 $n - 1 \leq lo g_{10} N < n$ から $2^{50}$ のような数の桁数を求められる

前提

対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

常用対数とは、底が $10$ の対数 $lo g_{10} N$ のことです。 $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ のような値を使うと、 $2^{50}$ や $3^{40}$ のように実際には計算しきれない大きな数が何桁なのかを求められます。巨大な数の大きさを見積もる問題でよく使います。

なぜそうしてよいのか

正の整数 $N$ が $n$ 桁であるとは、 $N$ が $n$ 桁で最小の数 $1 0^{n - 1}$ 以上で、 $n + 1$ 桁で最小の数 $1 0^{n}$ より小さいということです。たとえば 3 桁の数は $100 = 1 0^{2}$ 以上 $1000 = 1 0^{3}$ 未満です。つまり
$N が n 桁 ⟺ 1 0^{n - 1} \leq N < 1 0^{n}$
が成り立ちます。

底 $10$ は $1$ より大きいので、 $y = lo g_{10} x$ は $x$ が大きくなるほど値も大きくなる関数です（指数関数 $y = 1 0^{x}$ が増加することの裏返し）。このため、正の数どうしの不等式の各辺に $lo g_{10}$ をとっても不等号の向きは変わらず、 $lo g_{10} 1 0^{k} = k$ なので
$n - 1 \leq lo g_{10} N < n$
が得られます。

一方、 $N = 2^{50}$ のような数は、対数の性質（べきの性質 $lo g_{10} M^{k} = k lo g_{10} M$ ）を使えば $lo g_{10} N = 50 lo g_{10} 2$ と簡単に計算できます。 $lo g_{10} N$ の値がわかれば、それが $n - 1$ 以上 $n$ 未満となる整数 $n$ を読み取るだけで、桁数 $n$ が決まります。

手順

桁数を求めたい数を $N$ とし、対数の性質を使って $lo g_{10} N$ を与えられた値で表す（例: $lo g_{10} a^{k} = k lo g_{10} a$ 、 $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2$ ）
与えられた近似値を代入して $lo g_{10} N$ の値を計算する
その値を連続する整数ではさみ、 $n - 1 \leq lo g_{10} N < n$ の形にする
$1 0^{n - 1} \leq N < 1 0^{n}$ に戻し、 $N$ は $n$ 桁と結論する（桁数は $lo g_{10} N$ の整数部分に $1$ を足した数）

例題

$lo g_{10} 3 = 0.4771$ とする。 $3^{40}$ は何桁の整数か求めよ。

例題の解答

手順1: $N = 3^{40}$ とおくと、べきの性質より $lo g_{10} N = lo g_{10} 3^{40} = 40 lo g_{10} 3$ 。

手順2: $lo g_{10} 3 = 0.4771$ を代入して $lo g_{10} N = 40 \times 0.4771 = 19.084$ 。

手順3: $19 \leq 19.084 < 20$ なので $19 \leq lo g_{10} N < 20$ 。

手順4: 底 $10$ の対数は増加するので $1 0^{19} \leq 3^{40} < 1 0^{20}$ 。 $1 0^{19}$ は 20 桁で最小の数、 $1 0^{20}$ は 21 桁で最小の数だから、 $3^{40}$ は $20$ 桁の整数である。

答え: $20$

よくある誤り

$lo g_{10} N$ の整数部分をそのまま桁数としてしまう誤り。正しくは $19 \leq lo g_{10} N < 20$ なら $1 0^{19} \leq N < 1 0^{20}$ で、 $1 0^{19}$ 自体が 20 桁なので桁数は $19 + 1 = 20$ 桁。
$lo g_{10} 3^{40}$ を $(lo g_{10} 3)^{40}$ と計算してしまう誤り。正しくはべきの性質により $lo g_{10} 3^{40} = 40 lo g_{10} 3$ 。
$n$ 桁の範囲を $1 0^{n - 1} < N \leq 1 0^{n}$ と端を逆にしてしまう誤り。たとえば $1 0^{2} = 100$ は 3 桁なので、正しくは $1 0^{n - 1} \leq N < 1 0^{n}$ （左は等号を含み、右は含まない）。
$lo g_{10} 5$ の値が与えられていないので求められないと考えてしまう誤り。正しくは $lo g_{10} 5 = lo g_{10} \frac{10}{2} = 1 - lo g_{10} 2 = 0.6990$ と商の性質で表せる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

常用対数と小数第何位（数学II 指数関数と対数関数）