指数関数と対数関数の問題

正の数 $N$ について、$k\leqq {\log }_{10}N<k+1$（$k$ は $0$ 以上の整数）ならば $10^k\leqq N<10^{k+1}$ なので、$N$ は $k+1$ 桁である。

$a={\log }_{10}2=0.3010$、$b={\log }_{10}3=0.4771$ とおく。${\log }_{10}{2}^n=na$、${\log }_{10}{3}^n=nb$ であるから、実数 $x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表すと
$$(2^n\text{ の桁数})=[na]+1,(3^n\text{ の桁数})=[nb]+1$$
よって条件は
$$[nb]-[na]=10(1)$$

$n$ の範囲をしぼる。 一般に $x-1<[x]\leqq x$ であるから
$$nb-1-na<[nb]-[na]<nb-(na-1)$$
すなわち
$$(b-a)n-1<[nb]-[na]<(b-a)n+1$$
ここで $b-a=0.1761$ である。

$(1)$ が成り立つには $0.1761n-1<10$ かつ $10<0.1761n+1$ が必要なので
$$\frac{9}{0.1761}<n<\frac{11}{0.1761}$$
$\frac{9}{0.1761}=51.1\cdots$、$\frac{11}{0.1761}=62.4\cdots$ より、$52\leqq n\leqq 62$ である。

$n=52,53,\cdots ,62$ を調べる。

よって $(1)$ を満たすのは $n=53,55,56,57,58,60$ である。

（例えば $n=53$ のとき、$2^{53}$ は $16$ 桁、$3^{53}$ は $26$ 桁で、差は $10$ である。）

答え: $n=53,55,56,57,58,60$

$3^n$ の桁数は $\lfloor n{\log }_{10}3\rfloor +1=\lfloor 0.4771n\rfloor +1$、$2^n$ の桁数は $\lfloor 0.3010n\rfloor +1$。よって条件は $d(n)=\lfloor 0.4771n\rfloor -\lfloor 0.3010n\rfloor =10$。

$\lfloor a\rfloor -\lfloor b\rfloor$ は $a-b$ との差が $1$ 未満なので、$d(n)$ は $0.1761n$ との差が $1$ 未満。$d(n)=10$ ならば $9<0.1761n<11$ より $51.1<n<62.5$ であり、$n=52,\dots ,62$ を調べればよい。

$n$: $\lfloor 0.4771n\rfloor$, $\lfloor 0.3010n\rfloor$, 差
- 52: 24.8092→24, 15.652→15, 9
- 53: 25.2863→25, 15.953→15, 10
- 54: 25.7634→25, 16.254→16, 9
- 55: 26.2405→26, 16.555→16, 10
- 56: 26.7176→26, 16.856→16, 10
- 57: 27.1947→27, 17.157→17, 10
- 58: 27.6718→27, 17.458→17, 10
- 59: 28.1489→28, 17.759→17, 11
- 60: 28.626→28, 18.06→18, 10
- 61: 29.1031→29, 18.361→18, 11
- 62: 29.5802→29, 18.662→18, 11

($n\le 51$ では $d(n)<0.1761n+1<10$、$n\ge 63$ では $d(n)>0.1761n-1>10$ なので不適。)

検算: $n=60$ のとき $3^{60}$ は $29$ より大きく $28.626$ なので 29 桁、$2^{60}$ は $18.06$ より 19 桁、差は 10。よって答えは $n=53,55,56,57,58,60$。