指数関数と対数関数の問題

$n$ を求める。

$${\log }_{10}12={\log }_{10}(2^2\cdot 3)=2{\log }_{10}2+{\log }_{10}3=0.6020+0.4771=1.0791$$

$12^n$ が $30$ 桁であるから $10^{29}\le 12^n<10^{30}$ である。各辺の常用対数をとると
$$29\le 1.0791n<30$$

• 左側の不等式から $n\ge \frac{29}{1.0791}=26.87\cdots$
• 右側の不等式から $n<\frac{30}{1.0791}=27.80\cdots$

$n$ は正の整数なので $n=27$ である。

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{27}$ を調べる。

$${\log }_{10}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{27}=27({\log }_{10}2-{\log }_{10}3)=27\times (0.3010-0.4771)=27\times (-0.1761)=-4.7547$$

よって $-5<{\log }_{10}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{27}<-4$ であり、
$$10^{-5}<{\left(\frac{2}{3}\right)}^{27}<10^{-4}$$
が成り立つ。

$10^{-5}=0.00001$、$10^{-4}=0.0001$ であるから、${\left(\frac{2}{3}\right)}^{27}$ は $0.0000\square \cdots$ の形になる。したがって、小数第 $1$ 位から第 $4$ 位までは $0$ で、初めて $0$ でない数字が現れるのは小数第 $5$ 位である。

$12^n$ が30桁なので $29\le {\log }_{10}12^n<30$。${\log }_{10}12=2{\log }_{10}2+{\log }_{10}3=0.6020+0.4771=1.0791$ より、$29\le 1.0791n<30$、すなわち $26.87\cdots \le n<27.80\cdots$。よって $n=27$。

次に ${\log }_{10}(2/3)=0.3010-0.4771=-0.1761$ なので、${\log }_{10}(2/3{)}^{27}=-0.1761\times 27=-4.7547$。

これは $-5<-4.7547<-4$ を満たすので $10^{-5}<(2/3{)}^{27}<10^{-4}$。つまり $(2/3{)}^{27}=10^{-5}\times 10^{0.2453}$ で、$10^{0.2453}$ は1以上10未満（約1.76）なので $1.76\cdots \times 10^{-5}$ となる。したがって小数第5位に初めて0でない数字が現れる。

検算：$27\times 1.0791=29.1357$ で $29\le 29.1357<30$ より30桁となり、条件に合う。