指数関数と対数関数の問題

$N={\left(\frac{3}{4}\right)}^{50}$ とおき、常用対数 ${\log }_{10}N$ を計算する。

対数の性質（べき・商）を使うと
$${\log }_{10}N=50{\log }_{10}\frac{3}{4}=50\left({\log }_{10}3-{\log }_{10}4\right)=50\left({\log }_{10}3-2{\log }_{10}2\right)$$
となる。与えられた値を代入すると
$${\log }_{10}N=50(0.4771-2\times 0.3010)=50\times (0.4771-0.6020)=50\times (-0.1249)=-6.245$$

したがって
$$-7\le {\log }_{10}N<-6$$
すなわち
$$10^{-7}\le N<10^{-6}$$
が成り立つ。

$10^{-7}=0.0000001$（小数第 $7$ 位が $1$）、$10^{-6}=0.000001$（小数第 $6$ 位が $1$）であるから、$10^{-7}$ 以上 $10^{-6}$ 未満の数は、小数第 $6$ 位までがすべて $0$ で、小数第 $7$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる。

一般に $-n\le {\log }_{10}N<-n+1$ のとき $N$ は小数第 $n$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる。ここでは $n=7$ である。

よって、答えは小数第 $7$ 位である。

${\log }_{10}(3/4{)}^{50}=50({\log }_{10}3-2{\log }_{10}2)=50(0.4771-0.6020)=50\times (-0.1249)=-6.245$。
$-7<-6.245<-6$ より $10^{-7}<(3/4{)}^{50}<10^{-6}$。
したがって $(3/4{)}^{50}=10^{-6.245}=10^{-7}\times 10^{0.755}$ で、$1<10^{0.755}<10$ なので、$(3/4{)}^{50}$ は $a\times 10^{-7}$（$1\le a<10$）の形になる。
$10^{-7}\le x<10^{-6}$ のとき、初めて 0 でない数字が現れるのは小数第 7 位である。
検算：$10^{-6}=0.000001$ は小数第 6 位に 1 が現れ、$10^{-7}$ は小数第 7 位に 1 が現れる。$x$ は $10^{-7}$ 以上 $10^{-6}$ 未満なので小数第 7 位である。