連立不等式

各不等式を解いて数直線上で共通部分をとり、連立 1 次不等式や $A < B < C$ の形の不等式の解を求められる

前提

1 次不等式（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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1 次不等式（数学I 数と式）

説明

いくつかの不等式を同時に満たす $x$ の範囲を求める方法を学びます。不等式を中かっこでまとめたものを連立不等式といい、その解は「どの不等式も満たす $x$ 全体」です。 $A < B < C$ の形の不等式も、2 つの不等式の連立として同じ方法で解けます。 $x$ の値の範囲を絞り込む場面で広く使います。

なぜそうしてよいのか

連立不等式 ${P Q$ の解は「 $P$ かつ $Q$ 」を満たす $x$ です。そこで、まず $P$ と $Q$ をそれぞれ 1 次不等式として解き、 $x$ の範囲を 2 つ求めます。両方を満たす $x$ は、2 つの範囲の重なった部分（共通部分）にある $x$ だけです。数直線に 2 つの範囲を描くと、重なりがひと目でわかります。

$A < B < C$ という書き方は「 $A < B$ かつ $B < C$ 」という意味です。したがって ${A < B B < C$ という連立不等式として解けばよいのです。なお、 $x$ が真ん中の $B$ にしか含まれないとき（例： $- 1 < 2 x + 3 < 7$ ）は、3 つの辺に同じ数を足す・同じ正の数で割る操作を同時に行っても、2 つの不等式それぞれに同じ操作をしたのと同じなので、まとめて変形できます（負の数で割るときは 2 つの不等号の向きがどちらも変わります）。

重なりがまったくないときは、両方を満たす $x$ は存在しないので「解なし」となります。

手順

連立不等式の各不等式を、1 次不等式としてそれぞれ解く（負の数で割ると不等号の向きが変わることに注意）。 $A < B < C$ の形なら、 $A < B$ と $B < C$ の 2 つに分けてから解く。
求めた各範囲を 1 本の数直線上に描く。端の値を含むとき（ $≦, ≧$ ）は黒丸 ●、含まないとき（ $<, >$ ）は白丸 ○ で表す。
すべての範囲が重なっている部分（共通部分）を読み取り、それを解とする。端の値は、すべての不等式で含まれるときだけ解に含める。
重なる部分がなければ「解なし」と答える。

例題

連立不等式 ${5 x - 2 ≧ 3 x - 8 2 (x + 1) > 4 x - 6$ を解け。

例題の解答

【手順1】各不等式を解く。
1 つ目： $5 x - 2 ≧ 3 x - 8$ より $2 x ≧ - 6$ 。両辺を正の数 $2$ で割って $x ≧ - 3$ …①
2 つ目： $2 (x + 1) > 4 x - 6$ より $2 x + 2 > 4 x - 6$ 、 $- 2 x > - 8$ 。両辺を負の数 $- 2$ で割るので不等号の向きが変わり、 $x < 4$ …②

【手順2】①と②を数直線に描く。①は $- 3$ を黒丸 ● にして右へのびる範囲、②は $4$ を白丸 ○ にして左へのびる範囲。

【手順3】2 つの範囲が重なるのは $- 3$ から $4$ の間。 $- 3$ は①にも②にも含まれるので解に含め、 $4$ は②に含まれないので解に含めない。よって $- 3 ≦ x < 4$ 。

【手順4】重なりがあるので解なしではない。

答え： $- 3 ≦ x < 4$

答え: $- 3 ≦ x < 4$

よくある誤り

2 つの範囲を合わせた全体（「または」）を解にしてしまう誤り。例えば $x ≧ - 3$ と $x < 4$ から「すべての実数」としてしまう。正しくは両方を満たす重なりだけをとり、 $- 3 ≦ x < 4$ 。
$A < B < C$ を「 $A < B$ かつ $A < C$ 」のように分けてしまう誤り。例えば $x + 1 < 2 x < x + 5$ を $x + 1 < 2 x$ と $x + 1 < x + 5$ に分けるのは誤り。正しくは $x + 1 < 2 x$ と $2 x < x + 5$ に分け、 $x > 1$ と $x < 5$ から $1 < x < 5$ 。
端の値の扱いを間違える誤り。例えば $x ≧ 2$ と $x < 2$ の共通部分を $x = 2$ としてしまう。 $x = 2$ は $x < 2$ を満たさないので、正しくは「解なし」。
3 辺をまとめて負の数で割るとき、不等号の向きを片方しか変えない誤り。例えば $- 1 < - 2 x + 3 < 7$ から $- 4 < - 2 x < 4$ として、 $- 2$ で割って $2 < x < - 2$ としてしまう。正しくは 2 つとも向きを変えて $2 > x > - 2$ 、すなわち $- 2 < x < 2$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

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