場合分けによる絶対値のはずし方

絶対値の中の式の符号で $x$ の範囲を分けて絶対値をはずし、各範囲での解と範囲の共通部分をまとめて、 $∣ x - 1∣ + ∣2 x - 4∣ < 3$ のような複数の絶対値を含む方程式・不等式を解ける

前提

絶対値を含む方程式・不等式の基本（数学I 数と式）
連立不等式（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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絶対値を含む方程式・不等式の基本（数学I 数と式）
連立不等式（数学I 数と式）

説明

絶対値記号が 2 つ以上ある方程式・不等式は、そのままでは数直線上の距離として一度に読み取りにくいことがあります。そこで、絶対値の中の式が正か負かで $x$ の範囲をいくつかに分けます。各範囲では絶対値をはずして 1 次方程式・1 次不等式として解き、最後に結果をまとめます。 $∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ ≦ 5$ や $∣ x - 1∣ + ∣2 x - 4∣ < 3$ のような問題で使います。

なぜそうしてよいのか

絶対値の定義は $A ≧ 0$ のとき $∣ A ∣ = A$ 、 $A < 0$ のとき $∣ A ∣ = - A$ です。つまり、中身 $A$ の符号さえわかれば、絶対値記号は「そのまま外す」か「 $- 1$ を掛けて外す」かのどちらかに決まります。たとえば $∣ x - 1∣$ の中身 $x - 1$ は $x = 1$ を境に符号が変わり、 $x ≧ 1$ では $∣ x - 1∣ = x - 1$ 、 $x < 1$ では $∣ x - 1∣ = - (x - 1)$ です。

絶対値が複数あるときは、それぞれの中身が $0$ になる $x$ の値（境目）を数直線に書き込みます。境目で区切られた各範囲の中では、どの中身も符号が一定です。そのため、すべての絶対値を同時にはずせて、式はただの 1 次式になります。

ただし、ある範囲で得られた解は「その範囲にいる $x$ 」についての話です。範囲の条件と、その範囲で解いた結果の両方を満たす $x$ 、つまり連立不等式の共通部分だけが本当の解になります。範囲は数直線全体を重なりなく分けているので、各範囲で求めた解をすべて合わせたもの（どれか 1 つに入る $x$ 全体）が、もとの問題の解です。

手順

各絶対値の中身が $0$ になる $x$ を求め、境目として数直線上に並べる（例: $∣ x + 2∣, ∣ x - 1∣$ なら $x = - 2, 1$ ）
境目で $x$ の範囲を分ける。境目の点は、どれか 1 つの範囲に必ず入れる（例: $x < - 2, - 2 ≦ x < 1, 1 ≦ x$ ）
各範囲で中身の符号を調べ、正（または $0$ ）ならそのまま、負なら $- ()$ を付けて絶対値をはずす
はずした後の 1 次方程式・1 次不等式を解く
その解とその範囲の条件との共通部分をとる（連立不等式）
各範囲で得た解をすべて合わせて、最終的な解を書く

例題

不等式 $∣ x + 2∣ + ∣ x - 1∣ ≦ 5$ を解け。

例題の解答

【手順1】中身が $0$ になるのは $x + 2 = 0$ より $x = - 2$ 、 $x - 1 = 0$ より $x = 1$ である。
【手順2】範囲を (i) $x < - 2$ 、(ii) $- 2 ≦ x < 1$ 、(iii) $x ≧ 1$ に分ける。

(i) $x < - 2$ のとき
【手順3】 $x + 2 < 0$ 、 $x - 1 < 0$ なので、 $∣ x + 2∣ = - (x + 2)$ 、 $∣ x - 1∣ = - (x - 1)$ となる。不等式は $- (x + 2) - (x - 1) ≦ 5$ 、すなわち $- 2 x - 1 ≦ 5$ である。
【手順4】 $- 2 x ≦ 6$ の両辺を負の数 $- 2$ で割ると、不等号の向きが変わって $x ≧ - 3$ となる。
【手順5】 $x < - 2$ との共通部分をとると $- 3 ≦ x < - 2$ である。

(ii) $- 2 ≦ x < 1$ のとき
【手順3】 $x + 2 ≧ 0$ 、 $x - 1 < 0$ なので、不等式は $(x + 2) - (x - 1) ≦ 5$ 、すなわち $3 ≦ 5$ である。
【手順4】これは $x$ によらず常に成り立つ。
【手順5】したがって、この範囲全体 $- 2 ≦ x < 1$ が解である。

(iii) $x ≧ 1$ のとき
【手順3】 $x + 2 > 0$ 、 $x - 1 ≧ 0$ なので、不等式は $(x + 2) + (x - 1) ≦ 5$ 、すなわち $2 x + 1 ≦ 5$ である。
【手順4】これを解くと $x ≦ 2$ である。
【手順5】 $x ≧ 1$ との共通部分をとると $1 ≦ x ≦ 2$ である。

【手順6】 $- 3 ≦ x < - 2$ 、 $- 2 ≦ x < 1$ 、 $1 ≦ x ≦ 2$ を合わせると、すき間なくつながる。よって求める解は $- 3 ≦ x ≦ 2$ である。

答え: $- 3 ≦ x ≦ 2$

よくある誤り

各範囲で解いた結果を、範囲との共通部分をとらずにそのまま答えにしてしまう誤り。たとえば上の (i) で $x ≧ - 3$ を答えに含めると、 $x = 0$ なども入ってしまう。正しくは範囲 $x < - 2$ と合わせて $- 3 ≦ x < - 2$ とする。方程式でも同じで、範囲外に出た解は捨てる。
負の中身をはずすときに、括弧を付けずに符号を一部にしか掛けない誤り。たとえば $x < 2$ で $∣2 x - 4∣ = - 2 x - 4$ としてしまう。正しくは $∣2 x - 4∣ = - (2 x - 4) = - 2 x + 4$ である。
境目の点を、どの範囲にも入れ忘れる誤り。たとえば $x < - 2, - 2 < x < 1, x > 1$ と分けると、 $x = - 2, 1$ が解かどうか調べられない。正しくは $x < - 2, - 2 ≦ x < 1, x ≧ 1$ のように、境目の点をどれか 1 つの範囲に入れる。
はずした後に負の数で割るとき、不等号の向きを変え忘れる誤り。たとえば $- 2 x ≦ 6$ から $x ≦ - 3$ としてしまう。正しくは $x ≧ - 3$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

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