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数と式の問題

難易度 3共通テストレベル数学I 数と式

$x$ を実数とする。方程式 $∣ x - 3∣ - 2 x = 6$ の解をすべて求めよ。

この問題で使うもの

絶対値を含む方程式・不等式の基本（説明と入口の問題）
場合分けによる絶対値のはずし方（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（15 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

絶対値が二重になっているので、まず内側の $∣ x - 3∣$ を外すことを考えよう。

ヒント 2

$x ≧ 3$ と $x < 3$ で場合分けすると、内側の式はそれぞれ $- x - 3$ , $3 - 3 x$ になる。

ヒント 3

$x < 3$ のときは $∣3 - 3 x ∣ = 6$ を解き、得られた値が $x < 3$ を満たすかどうかを必ず確認する。 $x ≧ 3$ のときも同様に条件を確認しよう。

答えと解説

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- 1, 3

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解説を読む

内側の絶対値 $∣ x - 3∣$ を外すため、 $x ≧ 3$ と $x < 3$ で場合を分ける。

(i) $x ≧ 3$ のとき
$∣ x - 3∣ = x - 3$ であるから
$∣ x - 3∣ - 2 x = x - 3 - 2 x = - x - 3$
よって方程式は $∣ - x - 3∣ = 6$ 、すなわち $∣ x + 3∣ = 6$ となる。 $x ≧ 3$ では $x + 3 > 0$ なので $x + 3 = 6$ 、 $x = 3$ 。これは $x ≧ 3$ を満たす。

(ii) $x < 3$ のとき
$∣ x - 3∣ = 3 - x$ であるから
$∣ x - 3∣ - 2 x = 3 - x - 2 x = 3 - 3 x$
よって方程式は $∣3 - 3 x ∣ = 6$ となり、 $3 - 3 x = 6$ または $3 - 3 x = - 6$ 。
- $3 - 3 x = 6$ より $x = - 1$ 。これは $x < 3$ を満たす。
- $3 - 3 x = - 6$ より $x = 3$ 。これは $x < 3$ を満たさないので不適。

(確認) $x = 3$ のとき $0 - 6 = 6$ 、 $x = - 1$ のとき $4 + 2 = 6$ で、ともに成り立つ。

以上より、解は $x = - 1, 3$ である。

別解

$∣ x - 3∣ - 2 x = 6$ または $∣ x - 3∣ - 2 x = - 6$ 。
(i) $x \geq 3$ ： $∣ x - 3∣ = x - 3$ なので $- x - 3 = 6$ より $x = - 9$ （不適）、 $- x - 3 = - 6$ より $x = 3$ （適）。
(ii) $x < 3$ ： $∣ x - 3∣ = 3 - x$ なので $3 - 3 x = 6$ より $x = - 1$ （適）、 $3 - 3 x = - 6$ より $x = 3$ （ $x < 3$ に反し不適）。
検算： $x = 3$ ： $∣∣0∣ - 6∣ = 6$ 。 $x = - 1$ ： $∣4 + 2∣ = 6$ 。ともに成立。

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