数と式の問題

絶対値の中身 $2x-3$ と $x+1$ の符号が変わるのは $x=\frac{3}{2}$ と $x=-1$ である。そこで、次の 3 つの場合に分けて考える。

(i) $x<-1$ のとき

$2x-3<0$, $x+1<0$ であるから
$$|2x-3|+|x+1|=-(2x-3)-(x+1)=2-3x$$
となる。不等式は $2-3x<2x+4$ となり、$-5x<2$ より $x>-\frac{2}{5}$ である。これは $x<-1$ を満たさないので、この範囲に解はない。

(ii) $-1\leqq x<\frac{3}{2}$ のとき

$2x-3<0$, $x+1\geqq 0$ であるから
$$|2x-3|+|x+1|=-(2x-3)+(x+1)=4-x$$
となる。不等式は $4-x<2x+4$ となり、$-3x<0$ より $x>0$ である。$-1\leqq x<\frac{3}{2}$ との共通部分をとって $0<x<\frac{3}{2}$ である。

(iii) $x\geqq \frac{3}{2}$ のとき

$2x-3\geqq 0$, $x+1>0$ であるから
$$|2x-3|+|x+1|=(2x-3)+(x+1)=3x-2$$
となる。不等式は $3x-2<2x+4$ となり、$x<6$ である。$x\geqq \frac{3}{2}$ との共通部分をとって $\frac{3}{2}\leqq x<6$ である。

(i)〜(iii) の結果を合わせると、求める解は
$$0<x<6$$
である。

(確認) $x=0$ のとき左辺は $3+1=4$、右辺は $4$ で等号になるので、$x=0$ は解に含まれない。$x=6$ のとき左辺は $9+7=16$、右辺は $16$ で、やはり解に含まれない。$x=1$ のとき左辺は $1+2=3$、右辺は $6$ で不等式を満たす。

絶対値の中身が 0 になる $x=-1,\frac{3}{2}$ で場合分けする。

(i) $x<-1$ のとき：$-(2x-3)-(x+1)=-3x+2<2x+4$ より $x>-\frac{2}{5}$。$x<-1$ と合わず、解なし。

(ii) $-1\le x<\frac{3}{2}$ のとき：$-(2x-3)+(x+1)=-x+4<2x+4$ より $x>0$。よって $0<x<\frac{3}{2}$。

(iii) $x\ge \frac{3}{2}$ のとき：$(2x-3)+(x+1)=3x-2<2x+4$ より $x<6$。よって $\frac{3}{2}\le x<6$。

(ii) と (iii) の和をとって $0<x<6$。

検算：$x=0$ では左辺 $4$、右辺 $4$ で不成立。$x=6$ では左辺 $16$、右辺 $16$ で不成立。$x=3$ では左辺 $7$、右辺 $10$ で成立。$x=1$ では左辺 $3$、右辺 $6$ で成立。