数と式の問題

$x^2=|x{|}^2$ であるから、$t=|x|$ とおくと $t\geqq 0$ であり、不等式は
$$|t^2-4|\leqq 3t(t\geqq 0)$$
となる。$t^2-4$ の符号で場合を分ける。

(i) $t\geqq 2$ のとき

$t^2-4\geqq 0$ より $|t^2-4|=t^2-4$ である。不等式は
$$t^2-4\leqq 3t⟺t^2-3t-4\leqq 0⟺(t-4)(t+1)\leqq 0$$
となり、$-1\leqq t\leqq 4$ である。$t\geqq 2$ と合わせて $2\leqq t\leqq 4$。

(ii) $0\leqq t<2$ のとき

$t^2-4<0$ より $|t^2-4|=4-t^2$ である。不等式は
$$4-t^2\leqq 3t⟺t^2+3t-4\geqq 0⟺(t+4)(t-1)\geqq 0$$
となり、$t\leqq -4$ または $t\geqq 1$ である。$0\leqq t<2$ と合わせて $1\leqq t<2$。

(i), (ii) より $1\leqq t\leqq 4$、すなわち
$$1\leqq |x|\leqq 4$$
である。$|x|\geqq 1$ より $x\leqq -1$ または $x\geqq 1$、$|x|\leqq 4$ より $-4\leqq x\leqq 4$ である。よって求める解は
$$-4\leqq x\leqq -1,1\leqq x\leqq 4$$

(確認: $x=1$ のとき左辺 $3$、右辺 $3$ で等号が成り立つ。$x=4$ のとき左辺 $12$、右辺 $12$ で等号が成り立つ。$x=0$ のとき左辺 $4$、右辺 $0$ で成り立たない。)

$t=|x|(t\geqq 0)$ とおくと $x^2=t^2$ なので、不等式は $|t^2-4|\leqq 3t$ となる。これは $-3t\leqq t^2-4\leqq 3t$ と同値である。

(i) $t^2-4\leqq 3t$ より $t^2-3t-4\leqq 0$、すなわち $(t-4)(t+1)\leqq 0$。よって $-1\leqq t\leqq 4$。$t\geqq 0$ と合わせて $0\leqq t\leqq 4$。

(ii) $-3t\leqq t^2-4$ より $t^2+3t-4\geqq 0$、すなわち $(t+4)(t-1)\geqq 0$。よって $t\leqq -4$ または $t\geqq 1$。$t\geqq 0$ と合わせて $t\geqq 1$。

(i)(ii) の共通部分は $1\leqq t\leqq 4$、すなわち $1\leqq |x|\leqq 4$ である。したがって $-4\leqq x\leqq -1$ または $1\leqq x\leqq 4$。

検算：$x=1$ のとき $|1-4|=3\leqq 3$ で成り立つ。$x=4$ のとき $|16-4|=12\leqq 12$ で成り立つ。$x=2$ のとき $0\leqq 6$ で成り立つ。$x=0.5$ のとき $3.75\leqq 1.5$ は偽。$x=5$ のとき $21\leqq 15$ は偽。いずれも結果と一致する。