絶対値を含む方程式・不等式の基本

$∣ x - a ∣$ を数直線上の距離とみて、 $∣ x - 3∣ = 2$ , $∣2 x - 1∣ < 5$ , $∣ x + 1∣ ≧ 3$ のような方程式・不等式を解ける

前提

1 次不等式（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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1 次不等式（数学I 数と式）

説明

絶対値の記号 $∣ ∣$ を含む方程式・不等式を、絶対値を外した 1 次方程式・1 次不等式に直して解けるようになります。コツは、 $∣ x - a ∣$ を「数直線上で $x$ と $a$ がどれだけ離れているか」と読むことです。 $∣ x - 3∣ = 2$ のような方程式や、 $∣2 x - 1∣ < 5$ 、 $∣ x + 1∣ ≧ 3$ のような不等式を解くときに使います。

なぜそうしてよいのか

実数 $a$ の絶対値 $∣ a ∣$ は、数直線上で $a$ を表す点と原点 $0$ との距離です。式で書くと、 $a ≧ 0$ のとき $∣ a ∣ = a$ 、 $a < 0$ のとき $∣ a ∣ = - a$ です。たとえば $∣3∣ = 3$ 、 $∣ - 3∣ = 3$ で、どちらも原点から 3 離れています。2 点 $x$ と $a$ の距離は「大きい方から小さい方を引いたもの」なので、 $x ≧ a$ なら $x - a$ 、 $x < a$ なら $a - x$ です。これはちょうど $∣ x - a ∣$ と同じです。つまり $∣ x - a ∣$ は「 $x$ と $a$ の距離」です。 $∣ x + 1∣ = ∣ x - (- 1) ∣$ なので、こちらは $x$ と $- 1$ の距離になります。

この見方を使うと、 $c > 0$ のとき次のことがすぐにわかります。原点からの距離がちょうど $c$ の点は $c$ と $- c$ の 2 つなので、 $∣ X ∣ = c ⟺ X = \pm c$ です。距離が $c$ より小さい点は $- c$ と $c$ の間にあるので、 $∣ X ∣ < c ⟺ - c < X < c$ です。距離が $c$ より大きい点は $- c$ より左か $c$ より右にあるので、 $∣ X ∣ > c ⟺ X < - c$ または $X > c$ です。 $≦$ 、 $≧$ のときは端の点も含めます。

右辺が $0$ や負の数のときは、「距離は $0$ 以上で、距離が $0$ になるのは原点だけ」という事実から決まります。 $c = 0$ のときは次のようになります。
- $∣ X ∣ = 0 ⟺ X = 0$
- $∣ X ∣ < 0$ は解なし
- $∣ X ∣ ≦ 0 ⟺ X = 0$
- $∣ X ∣ > 0 ⟺ X \neq = 0$
- $∣ X ∣ ≧ 0$ はすべての実数

（これらは上の規則に $c = 0$ を入れた結果と一致します。） $c < 0$ のときは次のとおりです。
- $∣ X ∣ = c$ 、 $∣ X ∣ < c$ 、 $∣ X ∣ ≦ c$ はどれも解なし（左辺は $0$ 以上で、 $c$ は負だから）
- $∣ X ∣ > c$ 、 $∣ X ∣ ≧ c$ はすべての実数

$X$ のところに $2 x - 1$ のような 1 次式が入っていても、 $2 x - 1$ をひとかたまりの数とみれば同じ考え方が使えます。絶対値を外したあとは、前提の技能である 1 次方程式・1 次不等式を解くだけです。

手順

絶対値の中身をひとかたまり $X$ とみて、右辺の数 $c$ が正・ $0$ ・負のどれかを確認する
$c > 0$ のとき、形に応じて絶対値を外す： $∣ X ∣ = c \Rightarrow X = \pm c$ 、 $∣ X ∣ < c \Rightarrow - c < X < c$ 、 $∣ X ∣ > c \Rightarrow X < - c$ または $X > c$ （ $≦$ 、 $≧$ なら等号をつける）
$c = 0$ のとき： $∣ X ∣ = 0$ と $∣ X ∣ ≦ 0$ は $X = 0$ 、 $∣ X ∣ < 0$ は解なし、 $∣ X ∣ > 0$ は $X \neq = 0$ 、 $∣ X ∣ ≧ 0$ はすべての実数。 $c < 0$ のとき： $=$ 、 $<$ 、 $≦$ は解なし、 $>$ 、 $≧$ はすべての実数
$X$ をもとの 1 次式に戻し、1 次方程式・1 次不等式として $x$ について解く（負の数で割るときは不等号の向きを変える）
結果を数直線でイメージして、「間」になるか「外側 2 つ」になるかが正しいかを確かめ、答えをまとめる

例題

不等式 $∣2 x - 1∣ < 5$ を解け。

例題の解答

手順 1：絶対値の中身 $X = 2 x - 1$ をひとかたまりとみる。右辺は $c = 5$ で、正の数である。

手順 2： $c > 0$ なので手順 2 の規則を使う。 $∣ X ∣ < 5$ は「 $X$ と原点の距離が 5 より小さい」ということなので、 $- 5 < X < 5$ と絶対値を外せる。よって
$- 5 < 2 x - 1 < 5$
（ $c$ は正なので、手順 3 の $c = 0$ 、 $c < 0$ の場合は使わない。）

手順 4：各辺に $1$ を加えると $- 4 < 2 x < 6$ となる。各辺を正の数 $2$ で割ると（不等号の向きは変わらない）
$- 2 < x < 3$

手順 5：「 $<$ 」の形なので、答えは $- 2$ と $3$ の間になるはずで、形が合っている。確認として $x = 0$ を入れると $∣ - 1 ∣ = 1 < 5$ で成り立つ。 $x = 3$ を入れると $∣5∣ = 5$ で $< 5$ を満たさないので、端は含まない。

答え： $- 2 < x < 3$

答え: $- 2 < x < 3$

よくある誤り

$∣ x + 1∣$ を「 $x$ と $1$ の距離」と読んでしまう誤り。正しくは $∣ x + 1∣ = ∣ x - (- 1) ∣$ なので「 $x$ と $- 1$ の距離」。たとえば $∣ x + 1∣ = 3$ の解は $x = - 1 \pm 3$ より $x = 2, - 4$ 。
$∣ X ∣ ≧ c$ も「間」の形にしてしまう誤り（ $∣ x + 1∣ ≧ 3$ を $- 3 ≦ x + 1 ≦ 3$ とする）。正しくは、距離が 3 以上なので外側の 2 つに分かれ、 $x + 1 ≦ - 3$ または $x + 1 ≧ 3$ 、すなわち $x ≦ - 4$ または $x ≧ 2$ 。
外側 2 つの答えを $2 ≦ x ≦ - 4$ のように 1 つの不等式にまとめてしまう誤り。 $2 ≦ x$ かつ $x ≦ - 4$ を満たす $x$ は存在しないので、意味が変わってしまう。正しくは「 $x ≦ - 4$ または $x ≧ 2$ 」と「または」でつないで書く。
右辺が $0$ 以下のときも機械的に外してしまう誤り（ $∣ x - 3∣ = - 2$ から $x - 3 = \pm 2$ として $x = 5, 1$ とする）。絶対値は距離なので負にならず、 $∣ x - 3∣ = - 2$ は解なし（ $∣ x - 3∣ > - 2$ はすべての実数）。また $c = 0$ のときは、 $∣ x - 3∣ > 0$ の解は $x \neq = 3$ （すべての実数ではない）、 $∣ x - 3∣ ≦ 0$ の解は $x = 3$ だけ（解なしではない）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

場合分けによる絶対値のはずし方（数学I 数と式）
距離空間と開球（大学数学集合と位相）