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数と式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 数と式

$x$ を実数とする。不等式 $∣2 x + 1∣ ≦ 7$ を解け。

この問題で使うもの

絶対値を含む方程式・不等式の基本（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（13 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

絶対値を数直線上の原点からの距離とみる技能を使います。 $∣2 x + 1∣$ は $2 x + 1$ と原点との距離です。

ヒント 2

$c > 0$ のとき、 $∣ A ∣ ≦ c$ は $- c ≦ A ≦ c$ と同じです。

ヒント 3

$- 7 ≦ 2 x + 1 ≦ 7$ となります。各辺から $1$ を引いて $- 8 ≦ 2 x ≦ 6$ です。あとは各辺を $2$ で割りましょう。

答えと解説

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- 4 ≦ x ≦ 3

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解説を読む

$∣ A ∣$ は、数直線上で $A$ を表す点と原点との距離です。

不等式 $∣2 x + 1∣ ≦ 7$ は、「 $2 x + 1$ を表す点と原点との距離が $7$ 以下である」という意味です。

原点からの距離が $7$ 以下の点は、数直線上で $- 7$ から $7$ までの範囲にあります。したがって、一般に $c > 0$ のとき
$∣ A ∣ ≦ c ⟺ - c ≦ A ≦ c$
が成り立ちます。これを使うと、与えられた不等式は
$- 7 ≦ 2 x + 1 ≦ 7$
と同じです。

各辺から $1$ を引くと
$- 8 ≦ 2 x ≦ 6$
各辺を正の数 $2$ で割ると（不等号の向きは変わらない）
$- 4 ≦ x ≦ 3$

よって、答えは $- 4 ≦ x ≦ 3$ です。

別解

$∣2 x + 1∣ ≦ 7$ は $- 7 ≦ 2 x + 1 ≦ 7$ と同値である。各辺から 1 を引くと $- 8 ≦ 2 x ≦ 6$ 。各辺を 2 で割ると $- 4 ≦ x ≦ 3$ 。
検算: $x = - 4$ のとき $∣ - 7∣ = 7$ 、 $x = 3$ のとき $∣7∣ = 7$ で等号成立。 $x = 0$ のとき $∣1∣ = 1 ≦ 7$ で成立。 $x = 4$ のとき $∣9∣ = 9 > 7$ で不成立。よって解は $- 4 ≦ x ≦ 3$ 。

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