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数と式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 数と式

$x$ を実数とする。不等式
$x + 1 < 3 x - 5 ≦ 2 x + 4$
を解け。

この問題で使うもの

連立不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（13 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「連立不等式」の技能を使います。 $A < B ≦ C$ は「 $A < B$ かつ $B ≦ C$ 」という意味なので、2 つの 1 次不等式に分けて考えましょう。

ヒント 2

$x + 1 < 3 x - 5$ と $3 x - 5 ≦ 2 x + 4$ をそれぞれ解き、数直線上で 2 つの解の共通部分をとります。負の数で割るときは不等号の向きが変わることに注意しましょう。

ヒント 3

$x + 1 < 3 x - 5$ を移項すると $- 2 x < - 6$ となり、 $x > 3$ です。もう一方の $3 x - 5 ≦ 2 x + 4$ を解いて、 $x > 3$ との共通部分を求めましょう。

答えと解説

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3 < x ≦ 9

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解説を読む

$A < B ≦ C$ の形の不等式は、2 つの不等式 $A < B$ と $B ≦ C$ が同時に成り立つことを表します。そこで、次の連立不等式として解きます。
${x + 1 < 3 x - 5 3 x - 5 ≦ 2 x + 4 (1) (2)$

$(1)$ を解く。 $x$ の項を左辺に、数の項を右辺に移項すると
$x - 3 x < - 5 - 1$
$- 2 x < - 6$
両辺を負の数 $- 2$ で割るので、不等号の向きが変わり
$x > 3 (3)$

$(2)$ を解く。 同様に移項すると
$3 x - 2 x ≦ 4 + 5$
$x ≦ 9 (4)$

共通部分をとる。 $(3)$ と $(4)$ を数直線上に表すと、 $(3)$ は $3$ より右側（ $3$ は含まない）、 $(4)$ は $9$ 以下（ $9$ を含む）の部分です。両方が重なっている部分は $3$ より大きく $9$ 以下の範囲なので、求める解は
$3 < x ≦ 9$

（注意） $x + 1 < 2 x + 4$ のように両端どうしを組み合わせた不等式を解いても、正しい解は得られません。必ず「 $A < B$ 」と「 $B ≦ C$ 」の 2 つに分けて解きます。

別解

連立不等式 $x + 1 < 3 x - 5$ と $3 x - 5 ≦ 2 x + 4$ に分けて解く。

(1) $x + 1 < 3 x - 5$ より $6 < 2 x$ 、すなわち $x > 3$ 。

(2) $3 x - 5 ≦ 2 x + 4$ より $x ≦ 9$ 。

共通部分は $3 < x ≦ 9$ 。

検算: $x = 9$ のとき $x + 1 = 10$ 、 $3 x - 5 = 22$ 、 $2 x + 4 = 22$ で $10 < 22 ≦ 22$ が成り立つ。 $x = 3$ のとき $4 < 4$ は成り立たず、境界を含まない。 $x = 4$ のとき $5 < 7 ≦ 12$ が成り立つ。 $x = 10$ のとき $3 x - 5 = 25$ 、 $2 x + 4 = 24$ で $25 ≦ 24$ は成り立たない。

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