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数と式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 数と式

$x$ を実数とする。不等式
$∣2 x - 5∣ ≦ 3$
を解け。

この問題で使うもの

絶対値を含む方程式・不等式の基本（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（13 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

絶対値を含む不等式の基本を使います。 $∣ X ∣$ は数直線上で $X$ と原点との距離を表すことを思い出しましょう。

ヒント 2

$c > 0$ のとき、 $∣ X ∣ ≦ c$ は $- c ≦ X ≦ c$ と同じ意味です。 $X = 2 x - 5$ , $c = 3$ として書きかえましょう。

ヒント 3

$- 3 ≦ 2 x - 5 ≦ 3$ の各辺に $5$ を加えると $2 ≦ 2 x ≦ 8$ になります。あとは各辺を $2$ で割りましょう。

答えと解説

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1 ≦ x ≦ 4

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解説を読む

$∣ X ∣$ は、数直線上で $X$ を表す点と原点 $0$ との距離です。

$X = 2 x - 5$ とおくと、不等式 $∣ X ∣ ≦ 3$ は「 $X$ と原点との距離が $3$ 以下」という意味になります。数直線上で原点からの距離が $3$ 以下の点は $- 3$ 以上 $3$ 以下の範囲にあるので、
$- 3 ≦ 2 x - 5 ≦ 3$
と書きかえられます。

各辺に $5$ を加えると
$2 ≦ 2 x ≦ 8$
各辺を正の数 $2$ で割ると（不等号の向きは変わらない）
$1 ≦ x ≦ 4$

（確認） $x = 1$ のとき $∣2 - 5∣ = 3$ 、 $x = 4$ のとき $∣8 - 5∣ = 3$ となり、端でちょうど等号が成り立ちます。また $x = 2$ のとき $∣4 - 5∣ = 1 ≦ 3$ で、不等式を満たします。

よって、解は $1 ≦ x ≦ 4$ です。

別解

$∣2 x - 5∣ ≦ 3$ より $- 3 ≦ 2 x - 5 ≦ 3$ 。各辺に 5 を加えて $2 ≦ 2 x ≦ 8$ 。各辺を 2 で割って $1 ≦ x ≦ 4$ 。
検算： $x = 1$ のとき $∣2 - 5∣ = 3$ 、 $x = 4$ のとき $∣8 - 5∣ = 3$ でともに成り立つ。 $x = 0$ のとき $∣ - 5∣ = 5 > 3$ 、 $x = 5$ のとき $∣5∣ = 5 > 3$ で不適。 $x = 2$ のとき $∣ - 1∣ = 1 ≦ 3$ で適する。よって解は $1 ≦ x ≦ 4$ 。

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