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数と式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学I 数と式

$x$ を実数とする。不等式 $∣2 x - 3∣ ≦ 5$ を解け。

この問題で使うもの

絶対値を含む方程式・不等式の基本（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（13 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

絶対値を含む不等式の基本を使います。 $∣ X ∣$ は数直線上で $X$ と $0$ との距離だと考えましょう。

ヒント 2

$c > 0$ のとき、 $∣ X ∣ ≦ c$ は $- c ≦ X ≦ c$ と同じです。 $X = 2 x - 3$ として当てはめます。

ヒント 3

$- 5 ≦ 2 x - 3 ≦ 5$ となります。各辺に $3$ を加えて $- 2 ≦ 2 x ≦ 8$ となるので、あとは各辺を $2$ で割ります。

答えと解説

答えを見る

- 1 ≦ x ≦ 4

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解説を読む

$X = 2 x - 3$ とおくと、不等式は $∣ X ∣ ≦ 5$ となります。

$∣ X ∣$ は数直線上で点 $X$ と原点 $0$ との距離を表します。したがって $∣ X ∣ ≦ 5$ は「 $X$ と $0$ の距離が $5$ 以下」という意味で、
$- 5 ≦ X ≦ 5$
と同じです。一般に、 $c > 0$ のとき $∣ X ∣ ≦ c ⟺ - c ≦ X ≦ c$ が成り立ちます。

これを使うと、
$- 5 ≦ 2 x - 3 ≦ 5$
となります。各辺に $3$ を加えると
$- 2 ≦ 2 x ≦ 8$
各辺を正の数 $2$ で割ると（不等号の向きは変わりません）
$- 1 ≦ x ≦ 4$

よって、答えは $- 1 ≦ x ≦ 4$ です。

別解

$∣2 x - 3∣ ≦ 5$ より $- 5 ≦ 2 x - 3 ≦ 5$ 。各辺に3を加えて $- 2 ≦ 2 x ≦ 8$ 。各辺を2で割って $- 1 ≦ x ≦ 4$ 。検算： $x = - 1$ のとき $∣ - 5∣ = 5$ 、 $x = 4$ のとき $∣5∣ = 5$ でともに成り立つ。 $x = 0$ のとき $∣ - 3∣ = 3 ≦ 5$ で成り立つ。 $x = 5$ のとき $∣7∣ = 7 > 5$ で成り立たない。

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