数と式の問題

$|x-1|$ は $x=1$ を境に、$|2x-6|$ は $x=3$ を境に、絶対値の中の符号が変わります。そこで $x<1$、$1\leqq x<3$、$x\geqq 3$ の 3 つの場合に分けて考えます。

(i) $x<1$ のとき

$x-1<0$、$2x-6<0$ なので
$$|x-1|+|2x-6|=-(x-1)-(2x-6)=-3x+7$$
です。不等式は $-3x+7\leqq 7$ となり、$-3x\leqq 0$ より $x\geqq 0$ です。$x<1$ と合わせて $0\leqq x<1$ となります。

(ii) $1\leqq x<3$ のとき

$x-1\geqq 0$、$2x-6<0$ なので
$$|x-1|+|2x-6|=(x-1)-(2x-6)=-x+5$$
です。不等式は $-x+5\leqq 7$ となり、$x\geqq -2$ です。これは $1\leqq x<3$ のすべての $x$ で成り立つので、$1\leqq x<3$ となります。

(iii) $x\geqq 3$ のとき

$x-1>0$、$2x-6\geqq 0$ なので
$$|x-1|+|2x-6|=(x-1)+(2x-6)=3x-7$$
です。不等式は $3x-7\leqq 7$ となり、$x\leqq \frac{14}{3}$ です。$x\geqq 3$ と合わせて $3\leqq x\leqq \frac{14}{3}$ となります。

まとめ

(i)〜(iii) の範囲を合わせると、求める解は
$$0\leqq x\leqq \frac{14}{3}$$
です。

確認

• $x=0$ のとき、$1+6=7$ となり等号が成り立ちます。
• $x=\frac{14}{3}$ のとき、$\frac{11}{3}+\frac{10}{3}=7$ となり等号が成り立ちます。

$|x-1|+|2x-6|\leqq 7$ を、$x=1$ と $x=3$ で場合分けして解く。

(i) $x<1$ のとき: $-(x-1)-(2x-6)=-3x+7\leqq 7$ より $x\geqq 0$。したがって $0\leqq x<1$。

(ii) $1\leqq x<3$ のとき: $(x-1)-(2x-6)=-x+5\leqq 7$ より $x\geqq -2$。この範囲では常に成り立つので $1\leqq x<3$。

(iii) $x\geqq 3$ のとき: $(x-1)+(2x-6)=3x-7\leqq 7$ より $x\leqq \frac{14}{3}$。したがって $3\leqq x\leqq \frac{14}{3}$。

(i)〜(iii) を合わせると $0\leqq x\leqq \frac{14}{3}$。

検算: $x=0$ のとき $1+6=7$ で成立。$x=\frac{14}{3}$ のとき $\frac{11}{3}+\frac{10}{3}=7$ で成立。$x=-1$ のとき $2+8=10>7$、$x=5$ のとき $4+4=8>7$ でともに不成立。