距離空間と開球

与えられた関数が距離の公理（非負性・対称性・三角不等式）を満たすかを確かめられる。 $d (x, y) = ∣ arctan x - arctan y ∣$ や離散距離などの距離での開球 $B (a, r) = {x ∣ d (x, a) < r}$ を、区間や図形として求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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説明

集合 $X$ の2点の「離れ具合」を測る関数 $d (x, y)$ が、ふつうの距離と同じ基本性質（距離の公理）を満たすとき、組 $(X, d)$ を距離空間といい、 $d$ を距離と呼びます。この技能では、与えられた関数が距離の公理を満たすかを確かめる方法と、点 $a$ から距離 $r$ 未満の点を集めた開球 $B (a, r) = {x \in X ∣ d (x, a) < r}$ を具体的な区間や図形として求める方法を学びます。距離を取り替えると、同じ集合でも「近い」の意味が変わり、開球の形も変わります。

なぜそうしてよいのか

関数 $d : X \times X \to R$ が距離であるとは、すべての $x, y, z \in X$ について次の3つが成り立つことです。(1) 非負性： $d (x, y) ≧ 0$ であり、 $d (x, y) = 0 ⟺ x = y$ 。(2) 対称性： $d (x, y) = d (y, x)$ 。(3) 三角不等式： $d (x, z) ≦ d (x, y) + d (y, z)$ 。これらは平面の距離 $(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ や数直線上の距離 $∣ x - y ∣$ が持つ性質のうち、「近い・遠い」を議論するのに本当に必要なものだけを取り出したものです。たとえば $∣ x - y ∣$ の三角不等式は、 $p = x - y, q = y - z$ とおいて $∣ p + q ∣ ≦ ∣ p ∣ + ∣ q ∣$ （両辺は0以上なので2乗して比べると $pq ≦ ∣ pq ∣$ に帰着）から従います。

$arctan x$ を「 $tan θ = x$ をみたす $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ の $θ$ 」と定めます。 $tan$ はこの範囲で狭義単調増加で、すべての実数値をちょうど1回ずつとるので、 $arctan$ は $R$ から $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ への狭義単調増加な関数になります。 $d (x, y) = ∣ arctan x - arctan y ∣$ は、各点 $x$ を $arctan x$ に移してから数直線上の距離を測ったものです。 $u = arctan x$ などとおけば対称性と三角不等式は $∣ u - w ∣ ≦ ∣ u - v ∣ + ∣ v - w ∣$ そのものです。さらに $d (x, y) = 0 ⟺ arctan x = arctan y ⟺ x = y$ です（単調増加なので異なる $x$ は異なる値に移る）。よって距離です。一方、 $d (x, y) = (x - y)^{2}$ は $d (0, 2) = 4 > d (0, 1) + d (1, 2) = 2$ となり三角不等式が崩れるので距離ではありません。

開球は「 $d (x, a) < r$ という不等式の解集合」です。 $arctan$ の距離なら $∣ arctan x - arctan a ∣ < r$ を $arctan x$ についての絶対値の不等式として解き、 $arctan x$ がとりうる範囲 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ と合わせてから、単調増加な $tan$ で $x$ の範囲に戻します。離散距離（ $x = y$ なら $0$ 、 $x \neq = y$ なら $1$ ）では、異なる点はすべて距離 $1$ なので、 $0 < r ≦ 1$ なら $B (a, r) = {a}$ 、 $r > 1$ なら $B (a, r) = X$ 全体となります。

手順

非負性を確かめる：すべての $x, y$ で $d (x, y) ≧ 0$ か、また $d (x, y) = 0$ となるのが $x = y$ のときに限るかを調べる
対称性を確かめる： $d (x, y) = d (y, x)$ が成り立つかを調べる
三角不等式を確かめる： $d (x, z) ≦ d (x, y) + d (y, z)$ を示す（ $d (x, y) = ∣ f (x) - f (y) ∣$ の形なら $∣ p + q ∣ ≦ ∣ p ∣ + ∣ q ∣$ に帰着）。成り立たないと思えば具体的な3点で反例を探す
開球を求めるときは、定義どおり不等式 $d (x, a) < r$ を書き下す
その不等式を解く： $arctan$ の距離なら $arctan a - r < arctan x < arctan a + r$ と $- \frac{π}{2} < arctan x < \frac{π}{2}$ の共通部分をとり、単調増加な $tan$ を両辺に施して $x$ の範囲にする
得られた解集合を区間や図形として表す

例題

実数全体 $R$ に距離 $d (x, y) = ∣ arctan x - arctan y ∣$ を入れる。開球 $B (1, \frac{π}{12})$ を区間で求めよ。

例題の解答

（手順4）定義より $B (1, \frac{π}{12}) = {x \in R ∣ arctan x - arctan 1∣ < \frac{π}{12}}$ 。 $tan \frac{π}{4} = 1$ かつ $- \frac{π}{2} < \frac{π}{4} < \frac{π}{2}$ なので $arctan 1 = \frac{π}{4}$ であり、不等式は $arctan x - \frac{π}{4} < \frac{π}{12}$ 。
（手順5）絶対値をはずすと $\frac{π}{4} - \frac{π}{12} < arctan x < \frac{π}{4} + \frac{π}{12}$ 、すなわち $\frac{π}{6} < arctan x < \frac{π}{3}$ 。この範囲は $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ に含まれるので、共通部分をとっても変わらない。 $tan$ はこの範囲で狭義単調増加なので、各辺に $tan$ を施して不等号の向きを保ったまま $tan \frac{π}{6} < x < tan \frac{π}{3}$ 、つまり $\frac{1}{3} < x < 3$ 。逆にこの範囲の $x$ は $\frac{π}{6} < arctan x < \frac{π}{3}$ をみたすので、同値変形になっている。
（手順6） $\frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ より、 $B (1, \frac{π}{12}) = (\frac{3}{3}, 3)$ （両端を含まない開区間）。中心 $1$ からふつうの意味で左右対称ではないことに注意。

答え: $(\frac{3}{3}, 3)$

よくある誤り

開球を中心から左右に同じ幅だけ広げた区間だと思い込み、 $B (1, \frac{π}{12}) = (1 - \frac{π}{12}, 1 + \frac{π}{12})$ としてしまう誤り。正しくは $arctan x$ の値で幅 $\frac{π}{12}$ を測るので $\frac{π}{6} < arctan x < \frac{π}{3}$ から $(\frac{3}{3}, 3)$ となる。
$arctan x$ の範囲 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ との共通部分をとり忘れる誤り。たとえば $B (1, \frac{π}{2})$ で $- \frac{π}{4} < arctan x < \frac{3 π}{4}$ の右端に $tan$ を施して $- 1 < x < tan \frac{3 π}{4} = - 1$ としてはいけない。正しくは右側は $arctan x < \frac{π}{2}$ が常に成り立つので $B (1, \frac{π}{2}) = (- 1, \infty)$ 。
非負性を「 $d (x, y) ≧ 0$ 」だけで済ませ、「 $d (x, y) = 0 \Rightarrow x = y$ 」を確かめない誤り。たとえば $d (x, y) = ∣ x^{2} - y^{2} ∣$ は対称性も三角不等式も満たすが $d (1, - 1) = 0$ なので距離ではない。正しくは $d (x, y) = ∣ f (x) - f (y) ∣$ が距離になるには異なる $x$ で $f (x)$ が異なること（ $arctan$ なら狭義単調増加）が必要。
離散距離の開球で $r = 1$ のときも全体になるとしてしまう誤り。正しくは $d (x, a) < 1$ を満たすのは $x = a$ だけなので $B (a, 1) = {a}$ であり、全体 $X$ になるのは $r > 1$ のとき。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

集合の直径（大学数学集合と位相）
点と集合の距離と最良近似（大学数学集合と位相）
内部・閉包・境界・集積点（大学数学集合と位相）