集合と位相の問題

手順 1：$d$ が距離であることの確認

非負性：絶対値は $0$ 以上なので $d(P,Q)\geqq 0$ である。$d(P,Q)=0$ となるのは $|x_1-x_2|=0$ かつ $|y_1-y_2|=0$、つまり $P=Q$ のときに限る。

対称性：$|x_1-x_2|=|x_2-x_1|$, $|y_1-y_2|=|y_2-y_1|$ より $d(P,Q)=d(Q,P)$ である。

三角不等式：$R=(x_3,y_3)$ とすると、実数の三角不等式 $|a+b|\leqq |a|+|b|$ から
$$|x_1-x_3|\leqq |x_1-x_2|+|x_2-x_3|,2|y_1-y_3|\leqq 2|y_1-y_2|+2|y_2-y_3|$$
が成り立つ。辺々加えると $d(P,R)\leqq d(P,Q)+d(Q,R)$ となる。

以上より $d$ は距離である。

手順 2：開球を不等式で書く

$P=(x,y)$ とすると、$d(P,A)=|x-1|+2|y+1|$ である。よって
$$B(A,4)=\{(x,y)\mid |x-1|+2|y+1|<4\}$$
となる。

手順 3：図形を求める

$u=x-1$, $v=y+1$ とおく（中心 $A$ を原点に移す平行移動なので、面積は変わらない）。条件は $|u|+2|v|<4$ である。

$u\geqq 0$, $v\geqq 0$ の部分では、条件は $u+2v<4$ となる。これは $(0,0)$, $(4,0)$, $(0,2)$ を頂点とする直角三角形の内部（座標軸上の辺は含む）である。

絶対値があるので、この図形は $u$ 軸と $v$ 軸のそれぞれについて対称である。したがって全体は、4 点 $(\pm 4,0)$, $(0,\pm 2)$ を頂点とするひし形の内部になる。もとの座標では、4 点 $(5,-1)$, $(-3,-1)$, $(1,1)$, $(1,-3)$ を頂点とするひし形の内部（周は含まない）である。

手順 4：面積を計算する

ひし形の対角線の長さは $8$ と $4$ なので、面積は
$$\frac{1}{2}\times 8\times 4=16$$
である。周を含むかどうかは面積に影響しない。

答え：$16$

中心 $A=(1,-1)$ について、$d(P,A)=|x-1|+2|y+1|<4$ である。$u=x-1$, $v=2(y+1)$ とおくと $|u|+|v|<4$ となる。これは $uv$ 平面上の対角線の長さが 8 の正方形（ひし形）の内部で、面積は $\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 8=32$ である。変換 $(x,y)\mapsto (u,v)$ のヤコビアンは $\partial (u,v)/\partial (x,y)=2$ なので、$xy$ 平面での面積は $32/2=16$ となる。
検算：$xy$ 平面で見ると、これは頂点が $(5,-1)$, $(-3,-1)$, $(1,1)$, $(1,-3)$ のひし形である。対角線の長さは横が 8、縦が 4 だから、面積は $\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4=16$ となり一致する。