集合と位相の問題

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、$x,y\in \mathbb{R}$ に対して
$$d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$$
で定まる距離 $d$ を入れた距離空間 $(\mathbb{R},d)$ を考える。ここで $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする $\tan$ の逆関数である。部分集合 $A=[-1,\infty )$ の直径
$$\mathrm{diam}A=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in A\}$$
を求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、$x,y\in \mathbb{R}$ に対して
$$d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$$
で定まる距離 $d$ を入れた距離空間 $(\mathbb{R},d)$ を考える。ただし $\arctan x$ は $-\frac{\pi }{2}<\arctan x<\frac{\pi }{2}$ の値をとるものとする。部分集合 $A=[-1,\sqrt{3}]$ の直径
$$\mathrm{diam}A=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in A\}$$
を求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、距離
$$d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$$
を入れた距離空間 $(\mathbb{R},d)$ を考える。ここで $\arctan$ は値を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ にとる逆正接関数である。部分集合
$$A=\{x\in \mathbb{R}\mid x\geqq -1\}$$
の直径
$$\mathrm{diam}A=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in A\}$$
を求めよ。

平面 ${\mathbb{R}}^2$ 上の関数 $d:{\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を、$p=(x_1,y_1)$, $q=(x_2,y_2)$ に対して
$$d(p,q)=\{\begin{array}{ll}|y_1-y_2|& (x_1=x_2)\\ |y_1|+|x_1-x_2|+|y_2|& (x_1\ne x_2)\end{array}$$
で定める。$d$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上の距離である（$x$ 軸を「川」とみなし、異なる縦の線の間を移動するには一度 $x$ 軸まで戻る必要がある、という距離である）。

楕円板
$$E=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|\frac{x^2}{4}+y^2\le 1\right\}$$
の、距離 $d$ に関する直径
$${\mathrm{diam}}_{d}E=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in E\}$$
を求めよ。

通常のユークリッド距離による位相を入れた平面 ${\mathbb{R}}^2$ の部分集合
$$X=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<9,(y-x^2+1)(y+x^2-1)\ne 0\}$$
を考える。$X$ に ${\mathbb{R}}^2$ からの相対位相を入れるとき、$X$ の連結成分の個数を求めよ。