集合と位相の問題

方針 直径の定義 $\mathrm{diam}A=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in A\}$ に従い、2 点 $p,q\in A$ について $d(p,q)$ がどこまで大きくなれるかを調べる。

ステップ 1：$\arctan$ の値の範囲を求める。 $\arctan$ は単調増加で、$\arctan (-1)=-\frac{\pi }{4}$、$x\to \infty$ のとき $\arctan x\to \frac{\pi }{2}$ である。また、どの実数 $x$ でも $\arctan x<\frac{\pi }{2}$ である。よって $p\in A$ のとき
$$-\frac{\pi }{4}\leqq \arctan p<\frac{\pi }{2}$$
となる。

ステップ 2：上から押さえる。 $p,q\in A$ とする。$\arctan p$ と $\arctan q$ はどちらも区間 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ に入るので、その差の絶対値は区間の幅より小さい。すなわち
$$d(p,q)=|\arctan p-\arctan q|<\frac{\pi }{2}-\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{3\pi }{4}$$
である。よって $\mathrm{diam}A\leqq \frac{3\pi }{4}$ である。

ステップ 3：上限であることを確かめる。 $p=-1$, $q=n$（$n$ は正の整数）とすると、$p,q\in A$ であり
$$d(-1,n)=\arctan n+\frac{\pi }{4}$$
となる。$n\to \infty$ のとき、これは $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$ に近づく。したがって、$\frac{3\pi }{4}$ より小さいどんな数よりも大きい $d(p,q)$ が存在する。

ステップ 2 とステップ 3 から、
$$\mathrm{diam}A=\frac{3\pi }{4}$$
である。なお、この値をとる 2 点は存在しない。つまり $\sup$ は最大値にはならない。

$\arctan$ は単調増加で連続なので、$A=[-1,\infty )$ の像は $[\arctan (-1),\pi /2)=[-\pi /4,\pi /2)$ である。$p,q\in A$ に対して $d(p,q)=|\arctan p-\arctan q|$ であり、$\arctan p,\arctan q$ は区間 $[-\pi /4,\pi /2)$ の任意の 2 点を取れる。

よって $d(p,q)$ の上限は、この区間の長さ $\frac{\pi }{2}-\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{3\pi }{4}$ である。

上限の確認：すべての $p,q\in A$ について $d(p,q)<\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$ が成り立つ。また $p=-1$、$q=n$ とすると $d(-1,n)=\arctan n+\frac{\pi }{4}\to \frac{3\pi }{4}$ ($n\to \infty$) となる。したがって上限は $\frac{3\pi }{4}$ であり、最大値としては達成されない。

答え：$\mathrm{diam}A=\frac{3\pi }{4}$