集合と位相の問題

方針 直径の定義どおり、2 点 $p,q\in A$ を動かしたときの $d(p,q)$ の上限を求める。

手順 1：値の範囲に直す。 $\arctan$ は単調増加で、$\arctan (-1)=-\frac{\pi }{4}$、$x\to \infty$ のとき $\arctan x\to \frac{\pi }{2}$ であり、値 $\frac{\pi }{2}$ はとらない。したがって $x\geqq -1$ のとき
$$-\frac{\pi }{4}\leqq \arctan x<\frac{\pi }{2}$$
となる。そこで $u=\arctan p$, $v=\arctan q$ とおくと、$u,v$ はともに区間 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ を動き、$d(p,q)=|u-v|$ である。

手順 2：上からおさえる。 $u,v\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ なので、$u\geqq v$ としてよく
$$|u-v|=u-v<\frac{\pi }{2}-\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{3\pi }{4}.$$
よって、すべての $p,q\in A$ で $d(p,q)<\frac{3\pi }{4}$ である。

手順 3：上限であることを確かめる。 $p=-1$, $q=n$（$n$ は正の整数）とすると
$$d(-1,n)=\arctan n+\frac{\pi }{4}⟶\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}(n\to \infty ).$$
したがって、$\frac{3\pi }{4}$ より小さいどんな数よりも大きい $d(p,q)$ が存在する。

以上より
$$\mathrm{diam}A=\frac{3\pi }{4}$$
である（この値は最大値としては達成されず、上限である）。

$\arctan$ は狭義単調増加で、$A=[-1,\infty )$ 上での値域は $[\arctan (-1),\pi /2)=[-\pi /4,\pi /2)$ である。

$p,q\in A$ に対して $d(p,q)=|\arctan p-\arctan q|$ であり、これは値域の区間 $[-\pi /4,\pi /2)$ の2点間の距離に等しい。

したがって上限は、区間の長さ $\pi /2-(-\pi /4)=3\pi /4$ である。

$q=-1$、$p\to \infty$ とすると $d(p,q)=\arctan p+\pi /4\to 3\pi /4$ となる。一方、常に $d(p,q)<3\pi /4$ である（上限は達成されない）。

よって $\mathrm{diam}A=3\pi /4$。

検算：$p=1000$ のとき $\arctan 1000\approx 1.5698$、これに $\pi /4\approx 0.7854$ を足すと約 $2.3552$ で、$3\pi /4\approx 2.3562$ に近い。