集合と位相の問題

方針：点と集合の距離 $d(p,A)={\inf }_{a\in A}d(p,a)$ は、集合 $A$ の点 $a$ を動かしたときの距離 $d(p,a)$ の下限です。$A$ の点を 1 つの文字で表し、距離を 1 変数の関数にして最小値を調べます。

手順1：$A$ の点を文字で表す。 $A$ の点は $a=(t,t^2)$（$t$ は実数）と書けます。

手順2：距離を $t$ の式にする。 2点間の距離の公式より
$$d(p,a{)}^2=(t-0{)}^2+(t^2-2{)}^2=t^2+t^4-4t^2+4=t^4-3t^2+4.$$
距離は 0 以上なので、$d(p,a)$ を最小にすることと $d(p,a{)}^2$ を最小にすることは同じです。

手順3：最小値を求める。 $s=t^2$ とおくと $s\geqq 0$ で、
$$t^4-3t^2+4=s^2-3s+4={\left(s-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}.$$
$s=\frac{3}{2}$ は $s\geqq 0$ の範囲にあるので、最小値は $\frac{7}{4}$ です。このとき $t=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ で、$A$ の点 $\left(\pm \sqrt{\frac{3}{2}},\frac{3}{2}\right)$ で最小値をとります。

手順4：下限を答える。 すべての $a\in A$ で $d(p,a)\geqq \sqrt{\frac{7}{4}}$ が成り立ち、等号を満たす $a\in A$ が実際にあります。したがって下限は最小値に一致し、
$$d(p,A)=\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.$$

（参考：$A$ の点のうち $p$ に最も近い点 $\left(\pm \sqrt{\frac{3}{2}},\frac{3}{2}\right)$ が、$A$ による $p$ の最良近似です。$p$ に最も近い点は $A$ の頂点 $(0,0)$ ではありません。$(0,0)$ までの距離は $2$ で、$\frac{\sqrt{7}}{2}$ より大きくなります。）

A上の点 $(x,x^2)$ と $p=(0,2)$ の距離の2乗は $f(x)=x^2+(x^2-2{)}^2=x^4-3x^2+4$ である。$t=x^2\ge 0$ とおくと $g(t)=t^2-3t+4=(t-\frac{3}{2}{)}^2+\frac{7}{4}$ となる。$t=\frac{3}{2}\ge 0$ は許されるので、最小値は $\frac{7}{4}$ である。

したがって $d(p,A)=\sqrt{7/4}=\frac{\sqrt{7}}{2}$ である。Aは閉集合で、$|x|\to \infty$ で $f\to \infty$ なので、下限は実際に最小値として達成される。

検算として、$x^2=3/2$ のとき $f=9/4-9/2+4=7/4$ となり一致する。また $x=0$ のとき $f=4$、$x=1$ のとき $f=2$ で、どちらも $7/4$ より大きい。