閉区間 上の実数値連続関数全体の集合 に、距離
を入れた距離空間を考える。1 次以下の多項式関数全体の集合を とし、 とする。点 と集合 の距離
を求めよ。
点と集合の距離と最良近似
点と集合の距離 を求められる。閉区間上の連続関数の一様距離 では、誤差 が最大値・最小値（）を交互に 3 点でとる 1 次関数 が最良の 1 次近似であることを使える（チェビシェフの交代定理）。たとえば 上の と 1 次関数全体 の距離 を、増減表で誤差の最大・最小を調べて求められる
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説明
点 と集合 の距離 は「 の中で にいちばん近い点までの距離」を表します。これは の点で を近似したときの最小誤差です。とくに閉区間 上の連続関数に一様距離 を入れると、 と 1 次関数全体 との距離 は、グラフ全体での最大誤差をもっとも小さくする 1 次式（最良 1 次近似）の誤差になります。この値は、誤差が と交互に 3 点で最大・最小をとる 1 次式を見つけ、増減表で確かめることで求められます。
なぜそうしてよいのか
まず （下限）を確認します。 は、すべての について が成り立つような数 のうち最大のものです。最小値が存在すればそれと一致しますが、最小値は存在しないこともあります。たとえば の通常の距離で 、 とします。 はいくらでも に近づきますが、 にはなりません。それでも です。なお、 の は定数関数も含む の全体とします。
次に、交代定理のうち「交互に 3 点で をとれば最良」という向きが正しい理由を示します。 が で値 （または ）をとり、 全体で だとします。仮に、別の 1 次式 で となるものがあったとしましょう。
- の点では なので、 です。
- の点では なので、 です。
すると は で符号が と 2 回変わります。しかし は 1 次式か定数なので、単調増加・単調減少・定数のどれかです。符号が 2 回変わることはありえません。よって となる 1 次式 は存在せず、 です。しかも は で実際に達成されるので、この が最良 1 次近似です。交代が 2 点だけだと符号の変化は 1 回で済み、1 次式でも起こりうるので、この議論は成り立ちません。
交代点の探し方として、 が 2 回微分可能で、 上でつねに （または ）という狭義に凸の場合を考えます。 なので は狭義単調です。傾き を弦の傾きにとると となります。さらに （すなわち ）となる がただ 1 つ存在します。存在は平均値の定理（弦の傾きと同じ接線の傾きをもつ点が区間内にある）によります。ただ 1 つであることは、 が狭義単調であることによります。このとき は で唯一の極値をとり、両端で反対側の極端な値をとります。そこで高さをそろえれば、交代点は の 3 点になります。
手順
近似する 1 次式を とおき、誤差を とする。 が 2 回微分可能で、 上で または （狭義に凸）であることを確かめる。手順 2〜4 はこの仮定のもとで使う。
両端で誤差を等しくする。 から傾きを決める: （弦の傾き）。
内部の交代点 を求める。、すなわち となる を解く。狭義に凸なので、この はただ 1 つに決まる。
高さをそろえる。 から を決める。このとき となる。
増減表で 上の の最大値 と最小値 を確認する。さらに で値が （または逆）と交互になることを確かめ、 と結論する。
例題
閉区間 上の連続関数に一様距離 を入れる。 と、1 次関数全体 との距離 を求めよ。
例題の解答
手順1: とし、 とおく。 は 上で正なので、 は狭義に下に凸である。
手順2: より なので、 である。
手順3: を解くと、 内の解はただ 1 つで である。
手順4: である。 とおくと なので、 となる。したがって 、 である。
手順5: は で負、 で正である。よって は で減少し、 で増加する。各点の値は次のとおり。
-
-
-
したがって 上の最大値は 、最小値は で、 が成り立つ。さらに 3 点 で、値は と交互になっている。交代定理より は最良 1 次近似であり、 である。
答え:
よくある誤り
両端を通る弦 をそのまま最良近似としてしまう誤り。この場合の誤差は になる。正しくは、弦を平行移動して誤差の山と谷の高さをそろえ、 で誤差 とする。
交代点 3 点での値だけを見て、 全体の最大誤差を確かめない誤り。交代点以外で となる点があれば、その の距離は ではない。正しくは、増減表で を確認する。
誤差が 2 点だけで をとれば最良だと判断してしまう誤り。たとえば を で定数 で近似すると、誤差 は増加関数である。この誤差は で 、 で をとり、最大誤差は になる。しかし をとる点はこの 2 点だけで、3 点目の交代は起きていない。実際、 と近似すると、誤差 は で と 3 点で交代し、距離は となる。正しくは、1 次近似が最良と言えるのは 3 点で交代するときである。
を必ず達成される最小値とみなし、 なら だとしてしまう誤り。たとえば 、 では だが、 である。正しくは、 は下限であり、 の中で達成されるとは限らない。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
座標平面 にユークリッド距離 を入れた距離空間を考える。放物線上の点全体の集合を とし、点 をとる。点と集合の距離 を求めよ。
座標平面 に、ユークリッド距離 を入れた距離空間を考える。放物線上の点全体の集合を とし、点 とする。点 と集合 の距離 を求めよ。