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集合と位相の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学集合と位相

座標平面 $R^{2}$ に、ユークリッド距離 $d ((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ を入れた距離空間を考える。放物線上の点全体の集合を $A = {(t, t^{2}) ∣ t は実数}$ とし、点 $P = (0, \frac{5}{2})$ とする。点 $P$ と集合 $A$ の距離 $d (P, A) = Q \in A in f d (P, Q)$ を求めよ。

この問題で使うもの

点と集合の距離と最良近似（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（51 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

点と集合の距離 $d (P, A) = in f_{Q \in A} d (P, Q)$ の定義を使います。 $A$ の点を $Q = (t, t^{2})$ とおいて、 $d (P, Q)$ を $t$ の関数として表し、その最小値を求めましょう。

ヒント 2

根号があると扱いにくいので、距離の 2 乗 $d (P, Q)^{2} = t^{2} + (t^{2} - \frac{5}{2})^{2}$ の最小値を考えます。 $t^{2}$ についての 2 次式とみるか、微分して増減表を作りましょう。

ヒント 3

$d (P, Q)^{2} = t^{4} - 4 t^{2} + \frac{25}{4} = (t^{2} - 2)^{2} + \frac{9}{4}$ と変形できます。最小値をとる $t$ と、そのときの距離を求めましょう。

答えと解説

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\frac{3}{2}

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解説を読む

点と集合の距離 $d (P, A)$ は、 $A$ の点 $Q$ を動かしたときの距離 $d (P, Q)$ の下限です。 $A$ の点は実数 $t$ を使って $Q = (t, t^{2})$ と表せるので、 $d (P, Q)$ を $t$ の関数として表し、その最小値（下限）を求めます。

手順1：距離を $t$ で表す。 $Q = (t, t^{2})$ のとき
$d (P, Q)^{2} = (t - 0)^{2} + (t^{2} - \frac{5}{2})^{2} = t^{2} + t^{4} - 5 t^{2} + \frac{25}{4} = t^{4} - 4 t^{2} + \frac{25}{4} .$
$d (P, Q) \geq 0$ なので、 $d (P, Q)$ が最小になることと $d (P, Q)^{2}$ が最小になることは同じです。そこで $g (t) = t^{4} - 4 t^{2} + \frac{25}{4}$ の最小値を調べます。

手順2： $g (t)$ の最小値を求める。 $g^{'} (t) = 4 t^{3} - 8 t = 4 t (t^{2} - 2) = 4 t (t - 2) (t + 2)$ なので、増減表は次のようになります。

$t < - 2$ で $g^{'} (t) < 0$ （減少）
$- 2 < t < 0$ で $g^{'} (t) > 0$ （増加）
$0 < t < 2$ で $g^{'} (t) < 0$ （減少）
$t > 2$ で $g^{'} (t) > 0$ （増加）

よって $g$ は $t = \pm 2$ で極小、 $t = 0$ で極大となります。
$g (\pm 2) = 4 - 8 + \frac{25}{4} = \frac{9}{4}, g (0) = \frac{25}{4} .$
$t \to \pm \infty$ で $g (t) \to \infty$ なので、 $g$ の最小値は $\frac{9}{4}$ です。（平方完成でも $g (t) = (t^{2} - 2)^{2} + \frac{9}{4}$ と確かめられます。）

手順3：下限を求める。 最小値が $t = \pm 2$ 、すなわち $Q = (\pm 2, 2)$ で実際にとられるので、下限は最小値に一致し、
$d (P, A) = \frac{9}{4} = \frac{3}{2} .$
このとき $P$ に最も近い $A$ の点（最良近似）は $(\pm 2, 2)$ の 2 点です。

答え： $\frac{3}{2}$

別解

$Q = (t, t^{2})$ とすると、 $d (P, Q)^{2} = t^{2} + (t^{2} - \frac{5}{2})^{2} = t^{4} - 4 t^{2} + \frac{25}{4}$ 。
$s = t^{2} \geq 0$ とおくと $f (s) = s^{2} - 4 s + \frac{25}{4} = (s - 2)^{2} + \frac{9}{4}$ 。
$s = 2$ は $s \geq 0$ の範囲内にあるので、最小値は $\frac{9}{4}$ であり、 $t = \pm 2$ で達成される。
よって $d (P, A) = 9/4 = \frac{3}{2}$ 。
検算： $t = 2$ のとき $Q = (2, 2)$ 、 $d^{2} = 2 + (2 - \frac{5}{2})^{2} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ 。 $t = 0$ では $d = \frac{5}{2} > \frac{3}{2}$ で矛盾しない。

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