この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

集合と位相の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学集合と位相

通常のユークリッド距離による位相を入れた平面 $R^{2}$ の部分集合
$X = {(x, y) \in R^{2} ∣ y (y - x^{2}) \neq = 0}$
を考える。 $X$ は、平面から $x$ 軸 $y = 0$ と放物線 $y = x^{2}$ を取り除いた集合である。 $X$ に $R^{2}$ からの相対位相を入れるとき、 $X$ の連結成分の個数を求めよ。

この問題で使うもの

連結性と連結成分の個数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（62 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「道でつなげる集合は連結」という性質と、互いに交わらない開集合に分けるという考え方を使います。まず $y$ と $y - x^{2}$ の符号で $X$ を分類してみましょう。

ヒント 2

$0 < y < x^{2}$ を満たす点では $x \neq = 0$ になります。つまり、この部分は $x > 0$ 側と $x < 0$ 側に分かれます。また、 $y < 0$ かつ $y > x^{2}$ となる点は存在しません。

ヒント 3

$X$ は ${y > x^{2}}$ 、 ${x > 0, 0 < y < x^{2}}$ 、 ${x < 0, 0 < y < x^{2}}$ 、 ${y < 0}$ の和に分かれます。それぞれが道でつなげることを、縦の線分と $y = x^{2} + 1$ や $y = \frac{x ^{2}}{2}$ のような曲線を使って確かめましょう。

答えと解説

答えを見る

4

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

方針: $X$ を互いに交わらない開集合に分ける。それぞれが道でつなげること（弧状連結）を示せば、それらがちょうど連結成分になる。

1. 符号で分ける. $X$ の点では $y \neq = 0$ かつ $y - x^{2} \neq = 0$ である。そこで $y$ と $y - x^{2}$ の符号の組で分類する。
- $y < 0, y - x^{2} > 0$ : $y > x^{2} ≧ 0$ となり $y < 0$ と矛盾するので、このような点はない。
- $A = {y > x^{2}}$ : 放物線の上側。
- $D = {y < 0}$ : 下半平面。 $y < 0$ ならば自動的に $y < x^{2}$ である。
- $0 < y < x^{2}$ の部分: $x = 0$ とすると $0 < y < 0$ となって不可能なので、 $x \neq = 0$ である。そこで $x$ の符号でさらに分け、 $B = {x > 0, 0 < y < x^{2}}$ 、 $C = {x < 0, 0 < y < x^{2}}$ とおく。

こうして $X = A \cup B \cup C \cup D$ と、互いに交わらない 4 つの集合に分かれる。どれも連続関数 $x, y, y - x^{2}$ についての狭義不等式で定まるので開集合であり、どれも空でない。たとえば $(0, 1) \in A$ 、 $(1, \frac{1}{2}) \in B$ 、 $(- 1, \frac{1}{2}) \in C$ 、 $(0, - 1) \in D$ である。

2. 各部分が連結であること（道でつなぐ）.
- $D$ : 凸集合なので、2 点を結ぶ線分が $D$ に含まれる。よって連結である。
- $A$ : 点 $(a, b) \in A$ から、点 $(a, a^{2} + 1)$ へ縦の線分で移る。この線分上では $y > a^{2}$ が保たれる。次に曲線 $y = x^{2} + 1$ に沿って $(0, 1)$ へ移る。この曲線は $A$ に含まれる。したがって $A$ の任意の点は $(0, 1)$ と道でつながり、 $A$ は連結である。
- $B$ : 点 $(a, b) \in B$ （ $a > 0$ ）から、点 $(a, \frac{a ^{2}}{2})$ へ縦の線分で移る。この線分上では $0 < y < a^{2}$ が保たれる。次に曲線 $y = \frac{x ^{2}}{2}$ （ $x > 0$ ）に沿って $(1, \frac{1}{2})$ へ移る。この曲線は $B$ に含まれる。よって $B$ は連結である。 $C$ も $x < 0$ として同様に連結である。

3. 連結成分であること. $A$ を含む $X$ の連結部分集合 $S$ を考える。 $S$ は互いに交わらない開集合 $A$ と $B \cup C \cup D$ で覆われる。 $S$ は連結なので、 $S$ はこのどちらか一方に含まれる。 $S$ は $A$ と交わるから $S \subset A$ である。よって $A$ は $A$ を含む最大の連結部分集合であり、連結成分である。 $B, C, D$ についても同じ議論が成り立つ。

以上より、連結成分は $A, B, C, D$ の $4$ 個である。

答え: $4$

別解

平面から $x$ 軸 $y = 0$ と放物線 $y = x^{2}$ を取り除いた集合の連結成分を数える。

2 曲線の交点は $y = 0$ と $y = x^{2}$ より $x = 0$ 、つまり原点 $(0, 0)$ のみで、 $x$ 軸は原点で放物線に接する。

領域を $y$ と $y - x^{2}$ の符号で分ける。

1. $y > 0$ かつ $y > x^{2}$ : 放物線の内側（上側）。 $y > x^{2}$ なら自動的に $y > 0$ （原点を除く）となる。この領域は凸集合なので連結。
2. $y > 0$ かつ $y < x^{2}$ : 放物線の外側で $x$ 軸より上。 $x > 0$ の部分と $x < 0$ の部分に分かれる。 $x = 0$ では $0 < y < 0$ となり空だから、この 2 つは分離している。各部分は連結（ $x > 0$ , $0 < y < x^{2}$ は単連結な領域）。よって 2 個。
3. $y < 0$ : このとき $y - x^{2} < 0$ なので常に $y (y - x^{2}) > 0$ である。下半平面全体で、連結。1 個。

$y < 0$ かつ $y > x^{2}$ は不可能。

$y (y - x^{2}) > 0$ となるのは領域 1 と 3、 $< 0$ となるのは領域 2 の部分。ここでは $\neq = 0$ だけなので、すべて含める。

合計 $1 + 2 + 1 = 4$ 個。

確認: 領域 2 の左右が分離していることは、 $x = 0$ の直線上に $X$ の点が $y < 0$ の部分と $y > 0$ の部分のみ（ $y > 0$ では $y > x^{2} = 0$ なので領域 1）であることから分かる。 $x = 0$ , $y > 0$ は領域 1 に属するので、領域 2 の左右の部分は互いにつながらない。また、領域 1 と領域 2 は放物線で隔てられ、領域 2 と領域 3 は $x$ 軸で隔てられている。したがって連結成分は 4 個。

集合と位相の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題