連結性と連結成分の個数

$R$ の連結集合が区間であることと、道でつなげる部分は連結であることを使える。これらから、 $R^{2}$ の部分集合（ $(x^{2} - 1) (y^{2} - 1) > 0$ のような不等式や、曲線を除いた領域で定まるもの）の連結成分の個数を求められる

前提

内部・閉包・境界・集積点（大学数学集合と位相）
不等式の表す領域（数学II 図形と方程式）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）

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算数中学高校大学大学院

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関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）

説明

平面 $R^{2}$ の部分集合が「いくつの切れていない塊からできているか」を、きちんと数える技能です。この塊を連結成分といいます。 $(x^{2} - 1) (y^{2} - 4) > 0$ のような不等式で決まる集合や、平面から曲線を取り除いた集合について、塊の個数を求めます。使う道具は 2 つです。「道でつなげる集合は連結」で塊がひとつながりであることを示し、「 $R$ の連結集合は区間」で塊どうしが本当に離れていることを示します。

なぜそうしてよいのか

$A \subset R^{2}$ を考えます。 $A$ と開集合の共通部分を「 $A$ の相対開集合」と呼びます。 $A$ が互いに交わらない空でない 2 つの相対開集合 $U, V$ で $A = U \cup V$ と分けられないとき、 $A$ は連結であるといいます。点 $p \in A$ を含む連結な部分集合をすべて合わせた集合は、 $p$ を含む最大の連結集合になります。これを $p$ の連結成分といいます。連結成分どうしは一致するか交わらないかのどちらかなので、 $A$ は連結成分に過不足なく分割されます。前提として「 $R$ の部分集合が連結であることと区間であることは同値」を認めます。たとえば $[0, 1]$ は連結です。

道でつなげれば連結であることを確かめます。 $A$ の任意の 2 点 $p, q$ が、連続写像 $γ : [0, 1] \to A$ で $γ (0) = p, γ (1) = q$ を満たすもの（道）で結べるとします。仮に $A = U \cup V$ と分けられたとし、 $p \in U, q \in V$ を取ります。すると $γ^{- 1} (U), γ^{- 1} (V)$ は $[0, 1]$ を空でない 2 つの相対開集合に分けてしまい、 $[0, 1]$ が連結であることに反します。特に凸集合（どの 2 点を結ぶ線分もその集合に含まれる集合）は、線分 $γ (t) = (1 - t) p + tq$ が道になるので連結です。

次に、塊が離れていることの示し方です。 $f : A \to R$ が連続で、 $C \subset A$ が連結なら、像 $f (C)$ も連結です。 $f (C)$ が分けられたとすると、その逆像で $C$ も分けられてしまうからです。よって $f (C)$ は区間になります。そこで、ある値 $c$ を $f$ が $A$ 上で一度もとらず、 $f (p) < c < f (q)$ であるとします。このとき $p, q$ を同時に含む連結集合 $C$ があったとすると、区間 $f (C)$ は $f (p)$ と $f (q)$ を含むのに $c$ を含まず、矛盾します。つまり $p$ と $q$ は別の連結成分に属します。「連結な塊に分けられる」ことと「その塊どうしは $f$ で引き離せる」ことの両方が示せれば、塊の個数がそのまま連結成分の個数になります。

手順

集合 $A$ を、符号の場合分けなどで具体的な部分 $P_{1}, \dots, P_{k}$ に分ける（例: 積 $> 0$ なら「両方正」と「両方負」に分ける）。
各 $P_{i}$ が道でつなげることを示す。凸集合なら線分 $γ (t) = (1 - t) p + tq$ が道になる。これで各 $P_{i}$ は連結とわかる。
$A$ 上で連続な関数 $f$ （座標 $x$ , $y$ など）と、 $f$ が $A$ 上でとらない値 $c$ を見つける。どの 2 つの $P_{i}, P_{j}$ についても、一方では $f < c$ 、他方では $f > c$ となるようにする。こうして $P_{i}$ と $P_{j}$ が同じ連結成分に入らないことを示す。
$P_{1}, \dots, P_{k}$ がそれぞれちょうど 1 つの連結成分なので、連結成分の個数は $k$ と結論する。

例題

$A = {(x, y) \in R^{2} ∣ (x^{2} - 1) (y^{2} - 4) > 0}$ の連結成分の個数を求めよ。

例題の解答

手順 1（分ける）: 積が正になるのは、2 つの因数が両方正のときか両方負のときである。
- 両方正: $x^{2} > 1$ かつ $y^{2} > 4$ 、すなわち $∣ x ∣ > 1$ かつ $∣ y ∣ > 2$ 。これは次の 4 つに分かれる。
- $P_{1} = {x > 1, y > 2}$
- $P_{2} = {x < - 1, y > 2}$
- $P_{3} = {x < - 1, y < - 2}$
- $P_{4} = {x > 1, y < - 2}$
- 両方負: $∣ x ∣ < 1$ かつ $∣ y ∣ < 2$ 。これを $P_{5} = {- 1 < x < 1, - 2 < y < 2}$ とする。

よって $A = P_{1} \cup \dots \cup P_{5}$ である。

手順 2（各部分は連結）: 各 $P_{i}$ は、 $x > 1$ のような半平面（または帯）の共通部分なので凸である。2 点を結ぶ線分 $γ (t) = (1 - t) p + tq$ が $P_{i}$ 内の道になるので、各 $P_{i}$ は連結である。

手順 3（引き離す）: $A$ の点では、 $x = \pm 1$ とすると積が $0$ になるので $x \neq = \pm 1$ である。同様に $y \neq = \pm 2$ である。連続関数 $f (x, y) = x$ は $A$ 上で値 $1$ も $- 1$ もとらず、 $g (x, y) = y$ は値 $2$ も $- 2$ もとらない。
- $P_{1}$ と $P_{2}$ : $f$ の値は $P_{1}$ で $> 1$ 、 $P_{2}$ で $< - 1$ であり、 $c = 1$ をはさむ。
- $P_{5}$ と $P_{1}$ : $f$ の値は $P_{5}$ で $< 1$ 、 $P_{1}$ で $> 1$ である。

他の組も同様に、 $x = \pm 1$ か $y = \pm 2$ のどれかをはさむ。 $p \in P_{i}, q \in P_{j} (i \neq = j)$ を同時に含む連結集合 $C$ があったとすると、 $f (C)$ または $g (C)$ は区間なのに、はさまれた値を含まないことになり、矛盾する。よって異なる $P_{i}$ は同じ連結成分に入らない。

手順 4（数える）: 各 $P_{i}$ がちょうど 1 つの連結成分なので、連結成分は $5$ 個である。

答え: $5$

よくある誤り

積 $> 0$ を「両方正」だけで考えてしまう誤り。 $(x^{2} - 1) (y^{2} - 4) > 0$ を $∣ x ∣ > 1, ∣ y ∣ > 2$ だけとみると 4 個と答えてしまう。正しくは、両方負の場合 $∣ x ∣ < 1, ∣ y ∣ < 2$ の長方形も加わり、5 個である。
1 点で接しているように見える部分をつながっているとしてしまう誤り。 ${(x, y) ∣ x y > 0}$ では第 1 象限と第 3 象限が原点で接しているように見えるが、原点は集合に含まれない。 $f (x, y) = x$ は値 $0$ をとらないので引き離せる。正しくは連結成分は 2 個である。逆に ${x y ≧ 0}$ は原点を通る道でつなげるので、連結成分は 1 個である。
$R$ での感覚を平面にそのまま持ち込む誤り。 $R ∖ {0}$ の連結成分は 2 個だが、 $R^{2} ∖ {(0, 0)}$ は原点を避けて折れ線で回り込めるので連結であり、連結成分は 1 個である。平面を分けるには、直線や円のような曲線を取り除く必要がある。
図で離れて見えるというだけで、別の連結成分と結論してしまう誤り。正しくは、とらない値 $c$ をもつ連続関数（例: $A$ 上で $x \neq = 1$ なら $f = x$ と $c = 1$ ）を示して引き離す。そのうえで、各部分が道でつなげる（連結である）ことも確かめる必要がある。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

連結性と連結成分の個数

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

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