有限集合上の位相

部分集合族が位相の公理（ $\emptyset, X$ を含み、和と有限個の共通部分で閉じる）を満たすかを判定できる。2 点・3 点集合上の位相をすべて数えられる（3 点集合では 29 個）

前提

写像・単射の個数と集合の濃度（大学数学集合と位相）

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算数中学高校大学大学院

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樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
写像・単射の個数と集合の濃度（大学数学集合と位相）

説明

集合 $X$ の部分集合を集めた族 $O$ が「位相」の条件を満たすかを判定できるようになります。あわせて、有限集合上の位相をもれなく数えられるようになります。位相は「開集合とはどれか」を決めるもので、連続性や近さを集合の言葉だけで扱うための土台です。点が少ない有限集合では、2 つずつの和と共通部分を調べれば判定できます。さらに「どの 1 点集合が開集合か」で場合分けすると、2 点集合上の位相 4 個、3 点集合上の位相 29 個をもれなく数え上げられます。

なぜそうしてよいのか

集合 $X$ の部分集合族 $O$ が次の 3 条件を満たすとき、 $O$ を $X$ 上の位相といい、その元を開集合とよびます。
(O1) $\emptyset \in O$ かつ $X \in O$ 。
(O2) $O$ の元をいくつ（無限個でもよい）集めても、その和集合は $O$ に属する。
(O3) $O$ の有限個の元の共通部分は $O$ に属する。
$∣ X ∣ = n$ が有限なら $O \subset P (X)$ の元は高々 $2^{n}$ 個なので、(O2) の「いくつ集めても」は実際には有限個の異なる集合の和です。 $U_{1} \cup U_{2} \cup U_{3} = (U_{1} \cup U_{2}) \cup U_{3}$ のように 2 つずつ順に合わせられます。よって「任意の $U, V \in O$ で $U \cup V \in O$ 」を確かめれば (O2) 全体が従います（帰納法）。共通部分も同じく 2 つずつ確かめれば十分です。 $\emptyset$ や $X$ との和・共通部分は自分自身か $\emptyset$ ・ $X$ になるので、確認は要りません。

数えるときは、まず候補の数を押さえます。 $\emptyset, X$ は必ず含まれるので、残り $2^{n} - 2$ 個の部分集合を入れるか入れないかで、候補は $2^{2^{n} - 2}$ 個です。 $n = 2$ （ $X = {a, b}$ ）では候補 $2^{2} = 4$ 個です。 ${a} \cup {b} = X$ 、 ${a} \cap {b} = \emptyset$ なので、4 個すべてが位相になります。 $n = 3$ （ $X = {a, b, c}$ ）では候補が 64 個あるので、次の 2 つの事実を使って場合分けします。(ア) 開集合である 1 点集合をいくつか合わせた和は開集合である。(イ) 異なる 2 点集合 2 つの共通部分は 1 点集合になる（例： ${a, b} \cap {b, c} = {b}$ ）。そこで 1 点集合 ${p}$ が開集合になる点 $p$ を集めた集合を $S$ とおき、 $k = ∣ S ∣$ で分けます。
・ $k = 3$ ：すべての 1 点集合が開集合なので、(ア) より全部の部分集合が開集合になり、 $P (X)$ の 1 個だけ。
・ $k = 2$ （ $S = {a, b}$ とする）：(ア) より ${a, b}$ は必ず開集合。 ${a, c}, {b, c}$ を両方入れると共通部分 ${c}$ が開集合になり、 $k = 2$ に反する。よって両方は入れられず、「どちらも入れない」「 ${a, c}$ だけ」「 ${b, c}$ だけ」の 3 通りになる。どれも和・共通部分で閉じている。 $S$ の選び方は $_{3} C_{2} = 3$ 通りなので、 $3 \times 3 = 9$ 個。
・ $k = 1$ （ $S = {a}$ とする）： ${b, c}$ は、 ${a, b}$ と並ぶと共通部分 ${b}$ が生じ、 ${a, c}$ と並ぶと ${c}$ が生じる。どちらも $k = 1$ に反するので同時には入れられない。一方 ${a, b} \cap {a, c} = {a}$ は問題ない。よって入れる 2 点集合は「なし」「 ${a, b}$ 」「 ${a, c}$ 」「 ${a, b}, {a, c}$ 」「 ${b, c}$ 」の 5 通りで、どれも位相になる。 $S$ の選び方は 3 通りなので $3 \times 5 = 15$ 個。
・ $k = 0$ ：(イ) より 2 点集合は高々 1 つしか入れられない。「なし」の 1 通りと「2 点集合 1 つ」の 3 通りで、4 個。
合計 $1 + 9 + 15 + 4 = 29$ 個です。

この 29 個を形（型）で整理します。型ごとの個数は「型の中で各点が果たす役割に、 $a, b, c$ を割り当てる方法」の数で、選び方の積で求まります。点の入れ替えで形が変わらない役割の組は、まとめて 1 通りと数えます。
・ ${\emptyset, X}$ ：1 個
・ ${\emptyset, {p}, X}$ ： $p$ の選び方で 3 個
・ ${\emptyset, {p, q}, X}$ ：2 点集合の選び方で 3 個
・ ${\emptyset, {p}, {p, q}, X}$ ： $p$ が 3 通り、 $q$ が残り 2 通りで $3 \times 2 = 6$ 個
・ ${\emptyset, {p}, {q, r}, X}$ ： $p$ を決めれば ${q, r}$ も決まるので 3 個
・ ${\emptyset, {p}, {q}, {p, q}, X}$ ： ${p, q}$ を選べば決まる（ $p, q$ を入れ替えても同じ族）ので 3 個
・ ${\emptyset, {p}, {p, q}, {p, r}, X}$ ： $p$ を決めれば決まる（ $q, r$ を入れ替えても同じ族）ので 3 個
・ ${\emptyset, {p}, {q}, {p, q}, {p, r}, X}$ ：2 つの 2 点集合に共通な点 $p$ が 3 通り、もう 1 つの開 1 点集合 $q$ が 2 通りで 6 個
・ $P (X)$ ：1 個
$1 + 3 + 3 + 6 + 3 + 3 + 3 + 6 + 1 = 29$ となり、場合分けの結果と一致します。

手順

$\emptyset$ と $X$ が族に入っているかを確かめる（入っていなければ位相ではない）。
$\emptyset, X$ 以外の元から 2 つ $U, V$ を選ぶすべての組について、 $U \cup V$ が族に入っているかを確かめる。
同じすべての組について、 $U \cap V$ が族に入っているかを確かめる。1 つでも外れれば位相ではない。すべて入っていれば位相である（有限集合なので 2 つずつの確認で十分）。
位相を数えるときは、1 点集合が開集合になる点の集合 $S$ で場合分けする。各場合で、 $S$ の点の 1 点集合の和を必ず含める。そのうえで、共通部分が $S$ に入らない点の 1 点集合になってしまう 2 点集合の組（例： ${a, c}, {b, c}$ の共通部分 ${c}$ ）を除いて、加える 2 点集合を列挙する。
列挙した族を手順 1〜3 で確かめる。 $S$ の選び方や点の役割の割り当て方（選び方の積）を掛けて、各場合・各型の個数を合計する。

例題

$X = {a, b, c}$ 上の位相のうち、 ${a}$ を開集合として含むものの個数を求めよ。

例題の解答

手順 4：1 点集合が開集合になる点の集合を $S$ とする。条件より $a \in S$ なので、 $S$ は ${a, b, c}$ 、 ${a, b}$ 、 ${a, c}$ 、 ${a}$ のどれかである。

・ $S = {a, b, c}$ ：すべての 1 点集合の和として全部の部分集合が開集合になり、 $P (X)$ の 1 個。
・ $S = {a, b}$ ：和 ${a, b}$ は必ず含まれる。 ${a, c}$ と ${b, c}$ を両方入れると、共通部分 ${c}$ が開集合になって $c \in / S$ に反する。よって候補は次の 3 つ。
　 ${\emptyset, {a}, {b}, {a, b}, X}$
　 ${\emptyset, {a}, {b}, {a, b}, {a, c}, X}$
　 ${\emptyset, {a}, {b}, {a, b}, {b, c}, X}$
　手順 1〜3 で 2 つ目を確かめる。和は ${a} \cup {b} = {a, b}$ 、 ${b} \cup {a, c} = X$ 、 ${a, b} \cup {a, c} = X$ などで、すべて族に入る。共通部分は ${a} \cap {b} = \emptyset$ 、 ${a, c} \cap {a, b} = {a}$ 、 ${a, c} \cap {b} = \emptyset$ などで、すべて族に入る。1 つ目・3 つ目も同様に確かめられるので、3 個。
・ $S = {a, c}$ ： $b$ と $c$ の役割を入れ替えただけなので、同様に 3 個。
・ $S = {a}$ ： ${b, c}$ は、 ${a, b}$ と並ぶと共通部分 ${b}$ が、 ${a, c}$ と並ぶと ${c}$ が生じる。どちらも $S$ に反するので同時には入れられない。 ${a, b} \cap {a, c} = {a}$ は許される。よって加える 2 点集合は「なし」「 ${a, b}$ 」「 ${a, c}$ 」「 ${a, b}, {a, c}$ 」「 ${b, c}$ 」の 5 通り。
　手順 5 で確かめる。たとえば ${\emptyset, {a}, {a, b}, {a, c}, X}$ では、和 ${a, b} \cup {a, c} = X$ 、共通部分 ${a, b} \cap {a, c} = {a}$ で、ほかの組も ${a}$ との和・共通部分なので族に入る。 ${\emptyset, {a}, {b, c}, X}$ では、 ${a} \cup {b, c} = X$ 、 ${a} \cap {b, c} = \emptyset$ 。残りも同様で、5 個とも位相である。

手順 5：合計して $1 + 3 + 3 + 5 = 12$ 個。

答え: $12$

よくある誤り

和だけ確かめて共通部分の確認を忘れる誤り。 $X = {a, b, c}$ で ${\emptyset, {a, b}, {b, c}, X}$ は和では閉じているが、 ${a, b} \cap {b, c} = {b}$ が入っていないので位相ではない。
共通部分だけ確かめて和の確認を忘れる誤り。 $X = {a, b, c}$ で ${\emptyset, {a}, {b}, X}$ は共通部分では閉じているが、 ${a} \cup {b} = {a, b}$ が入っていないので位相ではない（ $X = {a, b}$ なら ${a} \cup {b} = X$ となり位相になる）。
$\emptyset$ や $X$ を入れ忘れた族を位相としてしまう誤り。 $X = {a, b}$ で ${{a}, X}$ は和と共通部分では閉じているが、 $\emptyset$ を含まないので位相ではない。正しくは ${\emptyset, {a}, X}$ 。
型の数や対称性を取り違えて個数を誤る誤り。3 点集合上の位相を型の数 9 と答えたり、 ${\emptyset, {p}, {p, q}, X}$ 型を 3 個と数えたりする。この型は $p$ が 3 通り、 $q$ が 2 通りで $3 \times 2 = 6$ 個ある。逆に ${\emptyset, {p}, {p, q}, {p, r}, X}$ 型は $q, r$ を入れ替えても同じ族なので 3 個である。全体は $29$ 個で、候補の総数 $2^{6} = 64$ と混同しないこと。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

有限位相と前順序の対応（大学数学集合と位相）
内部・閉包・境界・集積点（大学数学集合と位相）