有限位相と前順序の対応

【位相 → 前順序】$X$ が有限なら、点 $x$ を含む開集合は有限個しかありません（$X$ 自身がその 1 つなので、少なくとも 1 個はあります）。その共通部分 $U_x$ は有限個の開集合の共通部分なので開集合であり、$x$ を含む最小の開集合です。そこで $x\le y⟺x\in U_y$ と定めます。$x\in U_x$ より反射律が成り立ちます。$x\in U_y$ かつ $y\in U_z$ なら、$U_z$ は $y$ を含む開集合なので $U_y\subseteq U_z$ となり、$x\in U_z$ です。よって推移律も成り立ち、$\le$ は前順序です（同じ理由で $x\le y⟺U_x\subseteq U_y$ とも言えます）。

【前順序 → 位相】前順序 $\le$ に対し、「$y\in O$ かつ $x\le y$ ならば $x\in O$」を満たす集合 $O$ を下集合と呼びます。下集合の全体は位相の公理を満たします。$\varnothing$ では条件の前提 $y\in \varnothing$ が起こらず、$X$ では結論 $x\in X$ が常に正しいので、どちらも下集合です。下集合の族 $\{O_i\}$ について、$y\in \bigcup O_i$ なら $y$ はある $O_i$ に入り、$x\le y$ なら $x\in O_i\subseteq \bigcup O_i$ です。$y\in \bigcap O_i$ ならすべての $O_i$ で $x\in O_i$ となり、$x\in \bigcap O_i$ です。よって和でも共通部分でも（個数によらず）閉じています。
【往復でもとに戻ること】(i) 位相から出発した場合を考えます。開集合 $O$ が $y$ を含めば $U_y\subseteq O$ なので、開集合は下集合です。逆に下集合 $O$ では、$y\in O$ のとき $U_y=\{x:x\le y\}\subseteq O$ なので、$O={\bigcup }_{y\in O}{U}_y$ は開集合です。つまり作った前順序の下集合の全体はもとの位相に一致します。(ii) 前順序 $\le$ から出発した場合を考えます。下集合の全体を位相とすると、$\downarrow x=\{z:z\le x\}$ は推移律より下集合で、反射律より $x$ を含みます。しかも $x$ を含むどの下集合にも含まれます。よって $U_x=\downarrow x$ です。したがって $z\in U_x⟺z\le x$ となり、もとの前順序が復元されます。以上で位相と前順序は 1 対 1 に対応します。この対応は有限性（$U_x$ が開集合であること）に支えられています。

【前順序 ⇔ 分割＋半順序】前順序で $x\sim y⟺(x\le y$ かつ $y\le x)$ と定めると、これは同値関係です（$x\sim y⟺U_x=U_y$）。同値類 $[x]$ の間に $[x]⪯[y]⟺x\le y$ と定めます。この定義は代表の取り方によりません。$x\sim x^{\prime }$, $y\sim y^{\prime }$ なら $x^{\prime }\le x\le y\le y^{\prime }$ となるからです。$⪯$ は反射律・推移律を満たします。$[x]⪯[y]$ かつ $[y]⪯[x]$ なら $x\sim y$ なので、反対称律も成り立ちます。よって $⪯$ は半順序です。逆に、$X$ の分割と、その類の集合上の半順序 $⪯$ が与えられたとき、$x\le y⟺[x]⪯[y]$ と定めます。$⪯$ の反射律・推移律から、$\le$ は前順序になります。さらに $x\le y$ かつ $y\le x⟺[x]=[y]$（反対称律による）なので、この前順序の同値類はもとの類そのものです。類の間の順序ももとの $⪯$ に戻ります。逆向きに、前順序から分割と $⪯$ を作って再びこの構成をすると、定義から $x\le y⟺[x]⪯[y]$ なので、もとの前順序に戻ります。類はそれぞれ別の部分集合なので区別でき、数えるのはラベル付きの半順序です。$k$ 元集合上の半順序の個数を $P(k)$ とすると、$n$ 点集合上の位相の個数は ${\sum }_{k=1}^{n}S(n,k)P(k)$ です。