集合と位相の問題

手順 1：位相を前順序に直す。
有限集合 $X$ 上の位相 $\mathcal{O}$ に対し、
$$x⪯y⟺x\in U_y$$
と定めると $⪯$ は前順序（反射律・推移律を満たす関係）になる。逆に前順序 $⪯$ からは、$U_y=\{x\mid x⪯y\}$ で生成される位相（下に閉じた集合全体を開集合とする位相）が得られる。この対応により、$X$ 上の位相と前順序は $1$ 対 $1$ に対応する。

手順 2：条件を前順序の言葉に直す。
$U_x=U_y$ となるのは、$x\in U_y$ かつ $y\in U_x$、すなわち $x⪯y$ かつ $y⪯x$ のときであり、そのときに限る。したがって、互いに異なる $U_x$ の個数は、同値関係「$x⪯y$ かつ $y⪯x$」の同値類の個数に等しい。

よって求める個数は、「同値類がちょうど $2$ 個である前順序」の個数である。

手順 3：同値類への分割と半順序に分けて数える。
前順序は、次の $2$ つを組にしたものと $1$ 対 $1$ に対応する。
- $X$ の同値類への分割
- 同値類の集合上の半順序

(i) $X$ を $2$ つのブロックに分ける方法の数は
$$S(4,2)=2^3-1=7$$
である。

(ii) $2$ つのブロック $A,B$ の上の半順序は、「比較不能」「$A<B$」「$B<A$」の $3$ 通りである。

積の法則より、求める個数は
$$7\times 3=21$$
である。

確認： たとえば分割 $\{A,B\}$ の場合、$3$ つの半順序に対応する位相はそれぞれ次のとおりである。
- 比較不能：$\{\varnothing ,A,B,X\}$
- $A<B$：$\{\varnothing ,A,X\}$（$U_x$ の値は $A$ と $X$）
- $B<A$：$\{\varnothing ,B,X\}$

どれも $U_x$ の値がちょうど $2$ 種類であり、互いに異なる位相になっている。

答え：$21$

有限集合上の位相は、前順序（反射的かつ推移的な関係）と一対一に対応する。対応は $y\le x⟺y\in U_x$ で与えられる。$U_x=U_y$ となるのは $x\le y$ かつ $y\le x$ のとき、すなわち $x$ と $y$ が同値のときである。したがって、異なる $U_x$ の個数は、この同値関係による同値類の個数に等しい。

よって求める個数は、次の2つのデータの選び方の数である。
1. $X$ を同値類 2 個に分割する方法。第2種スターリング数より $S(4,2)=7$ 通り。
2. 2 つの同値類の間の半順序。反鎖（比較不能）、$A<B$、$B<A$ の 3 通り。

前順序は、同値類への分割と、商集合上の半順序によって一意に定まる。したがって個数は $7\times 3=21$ である。

検算として、分割が $\{1\},\{2,3,4\}$ の場合を考える。開集合系は次の 3 通りである。
- 反鎖: $\{\varnothing ,\{1\},\{2,3,4\},X\}$
- $\{1\}$ が開: $\{\varnothing ,\{1\},X\}$
- $\{2,3,4\}$ が開: $\{\varnothing ,\{2,3,4\},X\}$

どれも $U_x$ はちょうど 2 種類であり、3 通りと一致する。