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集合と位相の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学集合と位相

集合 $X = {1, 2, 3}$ 上の位相 $O$ （開集合系）のうち、 ${1, 2} \in O$ かつ ${2, 3} \in O$ を満たすものの個数を求めよ。ただし、部分集合族として異なるものは区別して数える。

この問題で使うもの

有限集合上の位相（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「有限集合上の位相」の技能を使います。位相の公理（ $\emptyset, X$ を含む・和で閉じる・共通部分で閉じる）から、まず必ず含まれる開集合を決めましょう。

ヒント 2

${1, 2} \cap {2, 3}$ も開集合でなければなりません。必ず含まれる集合を決めたら、残りの部分集合 ${1}, {3}, {1, 3}$ を加えられるかを調べます。

ヒント 3

必ず含まれるのは ${\emptyset, {2}, {1, 2}, {2, 3}, X}$ で、これ自身が位相です。 ${1, 3}$ を加えると ${1}$ と ${3}$ も必要になります。

答えと解説

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4

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解説を読む

位相の公理は次の 3 つです。 $\emptyset, X \in O$ であること、 $O$ の元の和集合がまた $O$ に入ること、 $O$ の有限個の元の共通部分がまた $O$ に入ること。

手順 1：必ず入る開集合を決める。
$\emptyset$ と $X$ は公理により必ず入ります。さらに ${1, 2}, {2, 3} \in O$ なので、共通部分で閉じることから
${1, 2} \cap {2, 3} = {2} \in O$
です。したがって $O$ は
$O_{0} = {\emptyset, {2}, {1, 2}, {2, 3}, X}$
を必ず含みます。

手順 2： $O_{0}$ 自身が位相かを確かめる。
和集合： ${2} \cup {1, 2} = {1, 2}$ 、 ${2} \cup {2, 3} = {2, 3}$ 、 ${1, 2} \cup {2, 3} = X$ 。共通部分： ${1, 2} \cap {2, 3} = {2}$ で、ほかの組は小さい方に一致します。 $\emptyset, X$ との和・共通部分も明らかに $O_{0}$ に入ります。よって $O_{0}$ は位相です。

手順 3：残りの部分集合を加える場合を調べる。
$X$ の部分集合で $O_{0}$ に入っていないのは ${1}, {3}, {1, 3}$ の 3 つです。
- ${1}$ だけを加える： $O_{1} = O_{0} \cup {{1}}$ 。新しく生じる和・共通部分は ${1} \cup {2} = {1, 2}$ 、 ${1} \cup {2, 3} = X$ 、 ${1} \cap {1, 2} = {1}$ 、 ${1} \cap {2} = {1} \cap {2, 3} = \emptyset$ で、すべて $O_{1}$ に入ります。よって位相です。
- ${3}$ だけを加える： $1$ と $3$ の役割を入れかえれば同様に位相です。
- ${1}$ と ${3}$ をともに加える：和 ${1} \cup {3} = {1, 3}$ も入らなければならず、すべての部分集合を含む離散位相になります。
- ${1, 3}$ を加える： ${1, 3} \cap {1, 2} = {1}$ 、 ${1, 3} \cap {2, 3} = {3}$ も入らなければならず、やはり離散位相になります。

離散位相（ $2^{3} = 8$ 個の部分集合すべて）はもちろん位相です。

手順 4：数える。
条件を満たす位相は $O_{0}$ 、 $O_{0} \cup {{1}}$ 、 $O_{0} \cup {{3}}$ 、離散位相の $4$ 個です。

答え： $4$

別解

${1, 2}, {2, 3} \in O$ より、位相の公理から $\emptyset$ 、 $X$ 、 ${1, 2} \cap {2, 3} = {2}$ も $O$ に含まれる。したがって $O$ は必ず $\emptyset, {2}, {1, 2}, {2, 3}, X$ を含み、残りの候補は ${1}, {3}, {1, 3}$ の 3 つである。

必須の 5 個だけの族は、和と共通部分について閉じているので位相である。

候補を加えたときの条件は次のとおり。
- ${1}$ だけを加える: ${1} \cup {2} = {1, 2}$ 、 ${1} \cup {2, 3} = X$ 、 ${1} \cap {2, 3} = \emptyset$ 、 ${1} \cap {1, 2} = {1}$ となり、すべて族に含まれる。よって位相になる。
- ${3}$ だけを加える: 対称なので位相になる。
- ${1, 3}$ を加える: ${1, 3} \cap {1, 2} = {1}$ と ${1, 3} \cap {2, 3} = {3}$ が必要なので、 ${1}, {3}$ も加えなければならない。このとき離散位相になる。
- ${1}, {3}$ を加える: ${1} \cup {3} = {1, 3}$ が必要なので、 ${1, 3}$ も加えなければならない。

以上より、条件を満たす位相は次の 4 個である。
1. 必須の 5 個だけの族
2. 必須の 5 個に ${1}$ を加えた族
3. 必須の 5 個に ${3}$ を加えた族
4. 離散位相（ $X$ の全部分集合）

答えは 4。

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