集合と位相の問題

$X$ は有限集合なので、位相 $\mathcal{O}$ は $\varnothing ,X$ を含み、和集合と共通部分について閉じた $X$ の部分集合族である。逆に、そのような族は位相である。したがって $\mathcal{O}$ は包含関係について、$\cup$ と $\cap$ を結びと交わりとする分配束になる（集合の $\cup ,\cap$ は分配法則を満たすため）。

5 元の分配束の形. $5$ 元の束は、最小元・最大元のほかに $3$ 元をもつ。その $3$ 元の順序関係で分けると
- $(\mathrm{a})$ $3$ 元が鎖: 束は $5$ 元の鎖
- $(\mathrm{b})$ $3$ 元のうち $1$ 元が他の $2$ 元（互いに比較不能）の下にある
- $(\mathrm{c})$ $3$ 元のうち $1$ 元が他の $2$ 元（互いに比較不能）の上にある
- $(\mathrm{d})$ $2$ 元の鎖と $1$ 元が比較不能（束 $N_5$）
- $(\mathrm{e})$ $3$ 元が互いに比較不能（束 $M_3$）

となる。$N_5$, $M_3$ は分配束でないので現れない。よって $(\mathrm{a}),(\mathrm{b}),(\mathrm{c})$ の $3$ 通りを数えればよい。

$(\mathrm{a})$ 鎖の場合. $\mathcal{O}=\{\varnothing ,U_1,U_2,U_3,X\}$, $\varnothing ⊊U_1⊊U_2⊊U_3⊊X$。これは $X$ を $U_1,U_2\setminus U_1,U_3\setminus U_2,X\setminus U_3$ の $4$ つの空でない部分に順序付きで分けることと $1$ 対 $1$ に対応する。その個数は $4$ 元集合から $4$ 元集合への全射の個数 $4!=24$。

$(\mathrm{b})$ の場合. $\mathcal{O}=\{\varnothing ,P,Q,R,X\}$ で、$\varnothing ⊊P⊊Q$, $P⊊R$, $Q,R$ は比較不能。$\cap$ で閉じていて $Q\cap R⊊Q$ かつ $Q\cap R\supseteq P$ だから $Q\cap R=P$。$\cup$ で閉じていて $Q\cup R⊋Q,R$ だから $Q\cup R=X$。よって $X$ は $P,Q\setminus P,R\setminus P$ の $3$ つの空でない部分に分かれる。逆にこのように分ければ $\{\varnothing ,P,Q,R,X\}$ は $\cup ,\cap$ で閉じた $5$ 元の族になる。$(P,Q\setminus P,R\setminus P)$ の順序付きの分け方は $4$ 元集合から $3$ 元集合への全射の個数
$$3^4-3\cdot 2^4+3\cdot 1^4=81-48+3=36$$
で、$Q$ と $R$ を入れ替えても同じ $\mathcal{O}$ になるので、$(\mathrm{b})$ の個数は $36/2=18$。

$(\mathrm{c})$ の場合. $\mathcal{O}=\{\varnothing ,Q,R,S,X\}$ で、$Q,R$ は比較不能、$Q,R⊊S⊊X$。同様に $Q\cap R=\varnothing$, $Q\cup R=S$ となるので、$X$ は $Q,R,X\setminus S$ の $3$ つの空でない部分に分かれる。$(\mathrm{b})$ と同じく $36/2=18$ 個。

以上より、求める個数は
$$24+18+18=60$$
である。

（確認: $X$ が $3$ 元集合のとき同じ方法で数えると、$(\mathrm{a})$ は $0$ 個、$(\mathrm{b}),(\mathrm{c})$ は $3$ 個ずつで計 $6$ 個となり、$3$ 点集合上の位相 $29$ 個の内訳と一致する。）

有限集合 $X$ 上の位相は前順序（$x\le y⟺x\in \overline{\{y\}}$ など）と 1 対 1 に対応し、開集合は前順序の上閉集合（up-set）に当たる。前順序は「同値類（ブロック）への分割」と「ブロック全体の上の半順序」で決まり、開集合の個数はこの商半順序の上閉集合の個数、すなわち反鎖（空集合を含む）の個数に等しい。
ブロック数 $m$ で場合分けする（分割の各ブロックは中身で区別されるので、商半順序はラベル付き半順序として数える）。
- $m=1$: 開集合は 2 個。不適。
- $m=2$: 反鎖が 4 個（反鎖型）または 3 個（鎖型）。5 個にならない。
- $m=3$: 反鎖が 5 個になる半順序は、空集合 1 + 1 点集合 3 + 2 点反鎖の個数が 1 の場合、すなわち比較不能な対がちょうど 1 組のもの。3 元半順序のうち、$V$ 字（$a<b,a<c$）と $\Lambda$ 字（$a<c,b<c$）がこれで、ラベル付きで各 3 通り、計 6 通り。（他の型は反鎖 8, 6, 4 個）。3 ブロックの分割は $S(4,3)=6$ 通りなので $6\times 6=36$。
- $m=4$: 反鎖は空集合 1 + 1 点集合 4 で既に 5 個なので 2 点反鎖はなく、全順序（鎖）。ラベル付きで $4!=24$ 通り。分割は 1 通りなので 24。
合計 $36+24=60$。
検算: $m=3$ の例として $X=\{1,2,3,4\}$ のブロック $\{1,2\},\{3\},\{4\}$ と $V$ 字（$\{1,2\}<\{3\},\{1,2\}<\{4\}$）の位相の開集合は $\varnothing ,\{3\},\{4\},\{3,4\},X$ の 5 個で条件を満たす。