集合と位相の問題

有限位相と前順序の対応. 有限集合 $X$ 上の位相 $\mathcal{O}$ に対し、$x⪯y⟺$「$x$ を含むすべての開集合が $y$ を含む」と定めると、$⪯$ は前順序（反射的かつ推移的な関係）になる。有限集合では任意個の開集合の共通部分も開集合なので、$x$ の最小の開近傍 $U_x=\{y\mid x⪯y\}$ が存在し、開集合とは「$x\in U,x⪯y\Rightarrow y\in U$」を満たす集合（上に閉じた集合）にほかならない。こうして $X$ 上の位相と $X$ 上の前順序は 1 対 1 に対応する。

条件の言い換え. $\{1\}$ が開集合 $⟺$ $U_1=\{1\}$ $⟺$ 「$1⪯y$ となる $y\ne 1$ が存在しない」。

$Y=\{2,3,4\}$ とおく。この条件を満たす $X$ 上の前順序 $⪯$ は、次の 2 つのデータで決まる。
- $⪯$ を $Y$ に制限した前順序 ${⪯}_Y$
- $D=\{y\in Y\mid y⪯1\}$

推移律から、$z{⪯}_{Y}y$ かつ $y\in D$ なら $z\in D$、つまり $D$ は ${⪯}_Y$ について下に閉じた集合である。逆に、$Y$ 上の任意の前順序 ${⪯}_Y$ と、それについて下に閉じた任意の $D\subseteq Y$ を与えて「$y⪯1⟺y\in D$、$1⪯y$ は $y=1$ のときだけ」と定めると、推移律が成り立つことが確かめられる（$1$ より真に上の元はないので、確かめるべきは $z⪯y⪯1\Rightarrow z⪯1$ だけで、これは $D$ が下に閉じていることから従う）。

${⪯}_Y$ について下に閉じた集合は、対応する $Y$ 上の位相の閉集合（開集合の補集合）にほかならない。したがって
$$(\text{求める個数})=\sum _{{\mathcal{O}}_Y:Y\text{ 上の位相}}({\mathcal{O}}_Y\text{ の閉集合の個数})=\sum _{{\mathcal{O}}_Y}|{\mathcal{O}}_Y|.$$

3 点集合上の位相の分類. $Y=\{a,b,c\}$ 上の位相（全部で $29$ 個）を、空集合と全体以外の開集合で分類する。

個数の合計は $1+3+3+6+3+3+3+6+1=29$ で、すべて尽くされている。開集合の個数の総和は
$$1\cdot 2+3\cdot 3+3\cdot 3+6\cdot 4+3\cdot 4+3\cdot 5+3\cdot 5+6\cdot 6+1\cdot 8=2+9+9+24+12+15+15+36+8=130.$$

よって求める個数は $130$ である。

（確認: 同じ方法で $X=\{1,2,3\}$ の場合を数えると、2 点集合上の位相の開集合の個数の和 $2+3+3+4=12$ となり、3 点集合上の 29 個の位相を直接調べて $\{1\}$ が開であるものを数えた結果 $12$ と一致する。）

$Y=\{2,3,4\}$ とおく。$\mathcal{O}$ に対し $T_0=\{V\subseteq Y:V\in \mathcal{O}\}$、$T_1=\{V\subseteq Y:\{1\}\cup V\in \mathcal{O}\}$ とすると、$\mathcal{O}$ は $(T_0,T_1)$ で決まる ($\{1\}$ が開なので $\mathcal{O}$ の元は $V$ か $\{1\}\cup V$ の形)。\n\n位相の公理と $\{1\}\in \mathcal{O}$ から次が同値な条件になる。\n- $T_1$ は $Y$ 上の位相 ($\varnothing \in T_1$ は $\{1\}$ が開であることから、$Y\in T_1$ は $X$ が開であることから)。\n- $T_0\subseteq T_1$ ($V$ と $\{1\}$ の和集合をとる)。\n- $T_0$ は $\cup$ で閉じ $\varnothing \in T_0$、かつ $V\in T_0,W\in T_1\Rightarrow V\cap W\in T_0$ ($V$ と $\{1\}\cup W$ の共通部分)。\n\n最後の条件は $T_0$ が $T_1$ の中で下に閉じていることと同値 ($W\subseteq V$ なら $W=V\cap W$)。和で閉じた下に閉じた集合は、その最大元 $M\in T_1$ により $T_0=\{W\in T_1:W\subseteq M\}$ と一意に書ける。逆にどの $M\in T_1$ でも条件を満たす。\n\nゆえに求める個数は ${\sum }_{T_1}|T_1|$ ($T_1$ は 3 点集合 $Y$ 上の全位相、29 個) となる。\n\n3 点集合上の位相を開集合の個数で分類する。\n- 2 個 (密着): 1 個\n- 3 個: $\varnothing ,A,Y$ で $A$ は真の空でない部分集合: 6 個\n- 4 個: 全順序の鎖 $\varnothing \subset \{a\}\subset \{a,b\}\subset Y$ が 6 個、$\varnothing ,\{a\},\{b,c\},Y$ が 3 個。計 9 個\n- 5 個: $\{\varnothing ,\{a\},\{a,b\},\{a,c\},Y\}$ が 3 個、$\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\},Y\}$ が 3 個。計 6 個\n- 6 個: $\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\},\{a,c\},Y\}$ が 6 個\n- 7 個: 0 個\n- 8 個 (離散): 1 個\n個数の合計は $1+6+9+6+6+0+1=29$ で既知の値と一致する。\n\n$\sum |T_1|=2\cdot 1+3\cdot 6+4\cdot 9+5\cdot 6+6\cdot 6+8\cdot 1=2+18+36+30+36+8=130$。\n\n検算: 2 点集合 $\{1,2\}$ で同様に数えると $Y$ は 1 点で位相は 1 個 (開集合 2 個) だから 2 個。実際 $\{1\}$ が開な位相はシェルピンスキー空間と離散位相の 2 個で一致する。\n\nよって 130 個。