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集合と位相の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学集合と位相

集合 $X = {1, 2, 3, 4}$ 上の位相 $O$ のうち、次の $2$ つの条件をともに満たすものの個数を求めよ。

$(1)$ 位相空間 $(X, O)$ は $T_{0}$ 空間である。すなわち、 $X$ の相異なる任意の $2$ 点 $x, y$ に対し、 $x, y$ の一方だけを含む開集合が存在する。
$(2)$ 位相空間 $(X, O)$ は連結である。

この問題で使うもの

有限位相と前順序の対応（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（10 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

有限集合上の位相は、各点 $x$ を含む最小の開集合 $U_{x}$ を使って定めた前順序「 $x ⪯ y ⟺ x \in U_{y}$ 」と $1$ 対 $1$ に対応する。

ヒント 2

$T_{0}$ であることは前順序が半順序であること、連結であることは比較可能な $2$ 元を辺で結んだグラフが連結であることと同値になる。

ヒント 3

問題は「 $4$ 元集合上の連結な半順序（ラベル付き）の個数」になる。最長の鎖の長さ $4, 3, 2$ で型を分け、型ごとに $4! /∣ Aut ∣$ を足そう。

答えと解説

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解説を読む

1. 有限位相と前順序の対応

有限集合 $X$ 上の位相 $O$ に対し、各点 $x$ を含む最小の開集合 $U_{x}$ （ $x$ を含む開集合すべての共通部分。有限個の共通部分なので開集合）を考え、
$x ⪯ y ⟺ U_{x} \subset U_{y} ⟺ x \in U_{y}$
と定めると、 $⪯$ は反射的かつ推移的な関係（前順序）になる。逆に $X$ 上の前順序 $⪯$ から「 $y \in U, x ⪯ y \Rightarrow x \in U$ を満たす集合 $U$ 全体」を開集合系とすると位相が得られ、この $2$ つの対応は互いに逆である。よって $X$ 上の位相と $X$ 上の前順序は $1$ 対 $1$ に対応する。

2. 条件の言い換え

$T_{0}$ ： $x \neq = y$ で $x ⪯ y$ かつ $y ⪯ x$ なら $U_{x} = U_{y}$ となり、 $x, y$ の一方だけを含む開集合はない。逆に $U_{x} \neq = U_{y}$ なら $U_{x}, U_{y}$ の一方が他方の点を含まない。したがって $T_{0}$ であることは $⪯$ が反対称的、すなわち半順序であることと同値。
連結： $X$ が開かつ閉な集合 $V$ （ $\emptyset \neq = V \neq = X$ ）で分けられることは、 $V$ も $X ∖ V$ も $⪯$ について下に閉じていること、すなわち $V$ の元と $X ∖ V$ の元がどれも比較不能であることと同値。よって連結であることは、「比較可能な $2$ 元を辺で結んだグラフ（比較可能性グラフ）が連結」であることと同値。

したがって、求める個数は ${1, 2, 3, 4}$ 上の連結な半順序の個数（ラベル付き）である。

3. 連結な $4$ 元半順序の型ごとの数え上げ

同型な型ごとに、ラベルの付け方の数 $4! /∣ Aut ∣$ （ $Aut$ は自己同型群）を数える。最長の鎖の長さ（元の個数）で場合分けする。

(a) 鎖の長さ $4$ ：全順序 $a < b < c < d$ 。自己同型は恒等のみで $24$ 通り。

(b) 鎖の長さ $3$ ：鎖 $x < y < z$ ともう $1$ 元 $w$ 。 $w$ は少なくとも $1$ 元と比較可能。
- $x < w < z$ （ $w$ と $y$ は比較不能）：ダイヤモンド型。 $w \leftrightarrow y$ の自己同型があり $24/2 = 12$ 通り。
- $w < y$ （よって $w < z$ ）で $w$ と $x$ は比較不能： $x, w < y < z$ 。 $x \leftrightarrow w$ の自己同型があり $12$ 通り。
- $w > y$ （よって $w > x$ ）で $w$ と $z$ は比較不能： $x < y < z, w$ 。同様に $12$ 通り。
- $w < z$ のみ（ $w$ と $x, y$ は比較不能）：自己同型は恒等のみで $24$ 通り。
- $w > x$ のみ（ $w$ と $y, z$ は比較不能）：同様に $24$ 通り。

（ $w < y$ なら $w < z$ 、 $w > y$ なら $w > x$ が自動的に成り立つので、これで尽くされる。）小計 $12 + 12 + 12 + 24 + 24 = 84$ 。

(c) 鎖の長さ $2$ ：極小元の集合と極大元の集合に分かれ、関係は「極小元 $<$ 極大元」のみ。
- 極小元 $1$ 個・極大元 $3$ 個： $0 < a, b, c$ 。連結なのでこれだけ。 $24/3! = 4$ 通り。
- 極小元 $3$ 個・極大元 $1$ 個：同様に $4$ 通り。
- 極小元 $2$ 個 ${p, q}$ ・極大元 $2$ 個 ${r, s}$ ：連結で、各極大元・極小元が少なくとも $1$ つの関係をもつ。
- 関係が $4$ 本（ $p, q < r, s$ ）：自己同型は $p \leftrightarrow q$ , $r \leftrightarrow s$ の組合せで $4$ 個、 $24/4 = 6$ 通り。
- 関係が $3$ 本（例 $p < r, q < r, q < s$ 、いわゆる N 型）：自己同型は恒等のみで $24$ 通り。
- 関係が $2$ 本以下だと連結にならない。

小計 $4 + 4 + 6 + 24 = 38$ 。

(d) 鎖の長さ $1$ （反鎖）は連結でない。

4. 合計
$24 + 84 + 38 = 146.$

（検算： $4$ 元のラベル付き半順序は全部で $219$ 個、 $1, 2, 3$ 元の連結な半順序は $1, 2, 12$ 個であり、非連結なものは $4 \cdot 12 + 3 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 + 1 = 73$ 個なので、 $219 - 73 = 146$ と一致する。）

別解

有限集合上の $T_{0}$ 位相は、特殊化順序 ( $x \leq y ⟺ x \in {y}$ など) によりラベル付き半順序集合と 1 対 1 に対応する。ラベル付き 4 点半順序集合の個数は $219$ （ラベル付き半順序の個数 $1, 1, 3, 19, 219, \dots$ ）。また有限位相空間が連結であることは、対応する半順序集合の比較可能性グラフ（ハッセ図）が連結であることと同値。
連結なラベル付き半順序の個数を $c_{n}$ 、全体を $t_{n}$ （ $t_{0} = 1, t_{1} = 1, t_{2} = 3, t_{3} = 19, t_{4} = 219$ ）とすると、1 点（たとえば最小番号の点）を含む連結成分に着目して $t_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (k - 1 n - 1) c_{k} t_{n - k}$ 。
$c_{1} = 1$ 。 $n = 2$ : $3 = 1 \cdot 1 + c_{2}$ より $c_{2} = 2$ 。 $n = 3$ : $19 = t_{2} + 2 c_{2} t_{1} + c_{3} = 3 + 4 + c_{3}$ より $c_{3} = 12$ （直接確認: 比較可能対が 1 組だけのもの 6、 $V$ 字 3、 $Λ$ 字 3、全順序 6 のうち連結なのは $6 + 3 + 3 = 12$ ✓）。 $n = 4$ : $219 = (0 3) c_{1} t_{3} + (1 3) c_{2} t_{2} + (2 3) c_{3} t_{1} + c_{4} = 19 + 18 + 36 + c_{4} = 73 + c_{4}$ より $c_{4} = 146$ 。
よって求める個数は $146$ 。

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