集合と位相の問題

条件 $(2)$ より $f(1)=f(2)$ なので、$f$ は $1$ と $2$ に同じ値を対応させる。そこで $1,2$ をまとめて $1$ つの元 $u$ とみなし、$4$ 元集合 $A^{\prime }=\{u,3,4,5\}$ を考える。

条件 $(2)$ を満たす写像 $f:A\to B$ と、写像 $g:A^{\prime }\to B$ は、$g(u)=f(1)=f(2)$, $g(k)=f(k)(k=3,4,5)$ によって $1$ 対 $1$ に対応する。また $f$ と $g$ の像は等しいので、$f$ が全射であることと $g$ が全射であることは同値である。

よって、求める個数は $4$ 元集合から $3$ 元集合への全射の個数に等しい。これを包除原理で数える。写像 $g:A^{\prime }\to B$ は全部で $3^4=81$ 個ある。$B$ の特定の $1$ 元を像に含まない写像は $2^4=16$ 個、特定の $2$ 元を像に含まない写像は $1^4=1$ 個、$3$ 元すべてを含まない写像は $0$ 個である。したがって全射の個数は
$$3^4-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)2^4+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)1^4-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)0^4=81-48+3-0=36$$
である。

（別解）全射 $g:A^{\prime }\to B$ では $4$ 個の元が $3$ つの値に分かれるので、ちょうど $1$ つの値に $2$ 個、ほかの値に $1$ 個ずつ対応する。同じ値をとる $2$ 個の選び方が $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ 通り、その $3$ つのグループへの $a,b,c$ の割り当てが $3!=6$ 通りで、$6\times 6=36$ 個。

答えは $36$ 個である。

$f(1)=f(2)$ なので、$1,2$ を 1 つの元 $\{1,2\}$ にまとめると、$f$ は 4 元集合 $\{\{1,2\},3,4,5\}$ から $B$ への全射と同じ（まとめた元の像が $f(1)=f(2)$）。4 元集合から 3 元集合への全射の個数は $3^4-3\cdot 2^4+3\cdot 1^4=81-48+3=36$（または $S(4,3)\cdot 3!=6\cdot 6=36$）。
検算: 像が 3 点すべてになるには、5 点の値のうち $\{1,2\}$ を 1 組と見て 4 個の値が $a,b,c$ をすべて含む。1 つの値が 2 回、他は 1 回ずつ現れる: 重複する値を選ぶ 3 通り、4 つの位置から重複位置の組を選ぶ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ 通り、残り 2 つの異なる値の割り当て $2!=2$ 通りで $3\cdot 6\cdot 2=36$ ✓。