確率の定義と和事象・余事象

袋の中に赤玉 $4$ 個と白玉 $3$ 個の合計 $7$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $3$ 個同時に取り出すとき、取り出した $3$ 個のうち少なくとも $1$ 個が白玉である確率を求めよ。

袋の中に赤玉が $4$ 個、白玉が $3$ 個、合わせて $7$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $3$ 個同時に取り出すとき、取り出した玉の中に白玉が少なくとも $1$ 個含まれる確率を求めよ。

袋の中に赤玉 $5$ 個と白玉 $3$ 個、合計 $8$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $3$ 個同時に取り出すとき、少なくとも $1$ 個は白玉である確率を求めよ。

$10$ 本のくじの中に当たりくじが $3$ 本入っている。このくじを、まず a が $1$ 本引き、引いたくじをもとに戻さずに、続けて b が $1$ 本引く。a と b がともに当たりくじを引く確率を求めよ。

2 枚の硬貨を同時に 1 回投げるゲームがある。参加するには参加料 $100$ 円を払い、次の規則で賞金を受け取る。

• 2 枚とも表が出たら、賞金 $300$ 円
• 1 枚だけ表が出たら、賞金 $100$ 円
• 2 枚とも裏が出たら、賞金なし（$0$ 円）

このゲームに 1 回参加したとき、受け取る賞金から参加料 $100$ 円を引いた金額（損得の額）の期待値は何円か。

参加費 $200$ 円を払って、次のゲームを $1$ 回行う。

硬貨を $3$ 枚同時に投げ、表が出た枚数に応じて賞金を受け取る。表が $3$ 枚なら $800$ 円、表が $2$ 枚なら $200$ 円を受け取り、表が $1$ 枚以下なら賞金はない。

受け取る賞金から参加費 $200$ 円を引いた金額（損得の金額。損をしたときは負の値とする）の期待値を求めよ。答えは円単位の数値で答えよ。

袋の中に赤玉が $3$ 個、白玉が $2$ 個、合わせて $5$ 個の玉が入っている。この袋から同時に $3$ 個の玉を取り出し、取り出した赤玉の個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を求め、確率 $P(X\geqq 2)$ を求めよ。

袋の中に赤玉が $3$ 個、白玉が $4$ 個、合わせて $7$ 個の玉が入っている。この袋から同時に $3$ 個の玉を取り出し、取り出した玉のうち赤玉の個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を求め、それを用いて確率 $P(X\geqq 2)$ を求めよ。

袋の中に赤玉が $3$ 個、白玉が $2$ 個、合わせて $5$ 個の玉が入っている。この袋から同時に $3$ 個の玉を取り出し、取り出した赤玉の個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を調べ、確率 $P(X\geqq 2)$ を求めよ。

箱の中に、当たりくじが $2$ 本、はずれくじが $8$ 本入っている。この箱からくじを $1$ 本引き、当たりかはずれかを確認してから箱に戻す。この試行を $100$ 回繰り返し、当たりくじを引いた回数を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_{10}$ は互いに独立で、それぞれ確率 $\frac{1}{2}$ で $1$、確率 $\frac{1}{2}$ で $-1$ をとるとする。$S_0=0$、$S_k=X_1+X_2+\cdots +X_k(k=1,2,\dots ,10)$ とおく（単純対称ランダムウォーク）。このとき、
$$\underset{0\le k\le 10}{\max }{S}_k\ge 4$$
となる確率を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ は互いに独立な確率変数で、各 $X_i$ は $P(X_i=1)=P(X_i=-1)=\frac{1}{2}$ を満たすとする。$S_0=0$, $S_k=X_1+X_2+\cdots +X_k(k\ge 1)$ で定まる単純対称ランダムウォークを考える。最初の $6$ ステップまでに一度でも $2$ に到達する確率、すなわち
$$P\left(\underset{0\le k\le 6}{\max }{S}_k\ge 2\right)$$
を求めよ。

1 個のさいころを次の規則で投げ、得点を決める。

• さいころを投げて 5 以上の目が出たら、その時点で投げるのをやめ、そのとき出た目の数を得点とする。
• 4 以下の目が出たら、もう一度投げる。ただし、投げるのは最大 3 回までとする。
• 3 回投げて 3 回とも 4 以下の目が出た場合は、得点を $0$ とする。

このとき、得点の期待値を求めよ。

箱の中に、$1,2,3,4,5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この箱からカードを 1 枚取り出して数字を記録し、カードを箱に戻す。この操作を 3 回繰り返すとき、記録された 3 つの数字の中に $1$ と $5$ がどちらも少なくとも 1 回ずつ含まれる確率を求めよ。

袋の中に $1,2,3,4,5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この袋から 2 枚のカードを同時に取り出し、次のように得点を定める。

• 取り出した 2 枚のカードに書かれた数の積が偶数のときは、その積を得点とする。
• 積が奇数のときは、得点を $0$ とする。

このとき、得点の期待値を求めよ。

袋の中に、$1$ から $10$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $10$ 枚のカードが入っている。この袋からカードを $1$ 枚取り出し、書かれた数を記録してから袋に戻す。この操作を $3$ 回くり返す。記録された $3$ つの数の最大値が $9$ 以上であり、かつ最小値が $2$ 以下である確率を求めよ。

袋 A には赤玉 3 個と白玉 2 個が、袋 B には赤玉 2 個と白玉 4 個が入っている。1 個のさいころを 1 回投げ、1 または 2 の目が出たら袋 A を、それ以外の目が出たら袋 B を選ぶ。選んだ袋から玉を 2 個同時に取り出したところ、2 個とも赤玉であった。このとき、選んだ袋が A である確率を求めよ。

袋の中に、$1,2,3,4,5,6$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 個の玉が入っている。この袋から玉を 2 個同時に取り出し、取り出した 2 個の玉に書かれた数のうち、大きい方から小さい方を引いた値を $X$ とする。$X$ の期待値を求めよ。

$1$ から $6$ までの数字が 1 つずつ書かれた $6$ 枚のカードが袋に入っている。この袋から同時に $2$ 枚のカードを取り出し、取り出したカードに書かれた $2$ つの数の差の絶対値を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

1 個のさいころを $n$ 回投げるゲームを行う。1 回投げるごとに、3 の倍数の目が出たら得点に $3$ 点を加え、それ以外の目が出たら得点から $1$ 点を引く（得点のはじめの値は $0$ 点とする）。$n$ 回投げ終えたときの得点を $S$ とする。$S$ の分散が $320$ であるとき、$S^2$ の期待値 $E(S^2)$ を求めよ。ただし、$n$ は正の整数とする。

袋の中に、$1$ と書かれたカードが $1$ 枚、$2$ と書かれたカードが $2$ 枚、$3$ と書かれたカードが $3$ 枚、合わせて $6$ 枚のカードが入っている。この袋から同時に $2$ 枚のカードを取り出し、取り出したカードに書かれた数の和を $X$ とする。確率変数 $Y=3X-5$ の標準偏差 $\sigma (Y)$ を求めよ。

相異なる $9$ 個の実数を格納した配列 $A[1],A[2],\dots ,A[9]$ がある。$A$ の要素のうち、小さい方から数えた順位が $3$ 以上 $7$ 以下であるものを「良い要素」とよぶ。良い要素を $1$ つ見つけるために、次の乱択アルゴリズムを使う。

• $1$ 以上 $9$ 以下の整数 $i$ を等確率 $\frac{1}{9}$ で選ぶ。
• $A[i]$ を、それ以外の $8$ 個の要素 $A[j](j\ne i)$ のそれぞれと $1$ 回ずつ比較して、$A[i]$ より小さい要素の個数を数え、$A[i]$ の順位を求める。
• $A[i]$ が良い要素であればアルゴリズムを終了し、そうでなければ最初に戻って $i$ を選び直し、同じことをくり返す。

ここで、各回の $i$ の選び方は互いに独立であり、以前に選んだ位置が再び選ばれることもある。また、各回の比較はその回ごとに改めて $8$ 回行う（以前の比較結果は使わない）。アルゴリズムが終了するまでに行う要素どうしの比較の回数の期待値を求めよ。

入力アルファベットが $\{0,1\}$、出力アルファベットが $\{0,\mathrm{e},1\}$ の通信路を考える（$\mathrm{e}$ は「消失」を表す記号である）。入力 $X$ と出力 $Y$ の条件付き確率は、$x=0,1$ に対して
$$P(Y=x\mid X=x)=\frac{2}{3},P(Y=\mathrm{e}\mid X=x)=\frac{1}{3}$$
であり、それ以外の出力が現れる確率は $0$ である（すなわち、入力が反転して出力されることはない）。入力の分布を
$$P(X=0)=\frac{3}{4},P(X=1)=\frac{1}{4}$$
とするとき、相互情報量 $I(X;Y)$ を求めよ。ただし、エントロピーの対数の底は $2$ とする（単位はビット）。

出力が $8$ 通りの値 $\{0,1,2,\dots ,7\}$ のどれかになるハッシュ関数 $H$ を考える。$H$ はランダムオラクルとみなす。つまり、互いに異なる入力に対する出力は、それぞれ独立に $8$ 通りの値から等確率で選ばれるものとする。

攻撃者は、署名してもらいたい「正当な文書」の変種 $x_1,x_2,x_3$ と、すり替えたい「不正な文書」の変種 $y_1,y_2,y_3$ を用意する。これら $6$ 個の入力は互いに異なる。攻撃者は
$$H(x_i)=H(y_j)$$
を満たす $i,j(1\le i\le 3,1\le j\le 3)$ が少なくとも $1$ 組存在するとき、攻撃に成功するものとする。正当な文書どうし、または不正な文書どうしでハッシュ値が一致しても、それだけでは成功とはみなさない。

攻撃に成功する確率を、既約分数で求めよ。

出力が $8$ 通りの値 $\{0,1,2,\dots ,7\}$ のどれかになるハッシュ関数 $H$ を考える。$H$ はランダムオラクルとみなす。すなわち、互いに異なる入力に対する出力は、それぞれ独立に $8$ 通りの値から等確率で選ばれるものとする。

攻撃者は互いに異なる $5$ 個の入力 $m_1,m_2,\dots ,m_5$ についてハッシュ値 $H(m_1),\dots ,H(m_5)$ を計算する。このとき、ある値 $v$ について $H(m_i)=v$ となる $i$ が $3$ 個以上存在する確率を求めよ。この事象を「$3$ 重衝突（3-マルチコリジョン）が起こる」という。

3 個のさいころを同時に投げるとき、出た目の和が 10 になる確率を求めよ。

数直線上の原点に点 $\mathrm{P}$ がある。1 個のさいころを投げ、$1$ または $2$ の目が出たら $\mathrm{P}$ を正の向きに $2$ だけ動かし、それ以外の目が出たら $\mathrm{P}$ を負の向きに $1$ だけ動かす。この試行を $6$ 回繰り返す。$6$ 回の試行を終えたときに $\mathrm{P}$ が原点にあり、かつ $3$ 回の試行を終えた時点では $\mathrm{P}$ が原点にない確率を求めよ。

数直線上を動く点 $\mathrm{P}$ が、はじめ原点 $\mathrm{O}$ にある。1 個のさいころを投げて、$1$ または $2$ の目が出たら $\mathrm{P}$ を正の向きに $2$ だけ動かし、$3,4,5,6$ の目が出たら $\mathrm{P}$ を負の向きに $1$ だけ動かす。この試行を $6$ 回繰り返す。$6$ 回の試行を終えたとき $\mathrm{P}$ が原点にあり、かつ $1$ 回目から $6$ 回目までのどの試行の直後にも $\mathrm{P}$ の座標が負にならない確率を求めよ。

数直線上の原点に点 $\mathrm{P}$ がある。1 個のさいころを投げ、3 の倍数の目が出たら $\mathrm{P}$ を正の向きに $2$ だけ動かし、それ以外の目が出たら $\mathrm{P}$ を負の向きに $1$ だけ動かす。この操作を $6$ 回続けて行う。

$6$ 回の操作を終えたとき $\mathrm{P}$ が原点にあり、かつ $1$ 回目から $6$ 回目までのどの操作の直後にも $\mathrm{P}$ の座標が $-2$ 以下になっていない確率を求めよ。

袋の中に、$1$ と書かれたカードが $1$ 枚、$2$ と書かれたカードが $2$ 枚、$3$ と書かれたカードが $3$ 枚、合計 $6$ 枚のカードが入っている。この袋から同時に $2$ 枚のカードを取り出し、取り出した $2$ 枚に書かれた数の差の絶対値を $X$ とする。確率変数 $Y=5X+1$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。

袋の中に赤玉が $4$ 個、白玉が $2$ 個、合わせて $6$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $1$ 個ずつ取り出す。取り出した玉は袋に戻さず、白玉がはじめて取り出された時点で操作を終える。操作を終えるまでに取り出した玉の個数（最後に取り出した白玉も含める）を $X$ とする。確率変数 $3X+2$ の標準偏差 $\sigma (3X+2)$ を求めよ。

箱の中に赤玉が $2$ 個、白玉が $4$ 個、合わせて $6$ 個の玉が入っている。この箱から玉を $1$ 個ずつ取り出していき（取り出した玉は箱に戻さない）、$2$ 個目の赤玉が取り出された時点で操作を終了する。終了するまでに取り出した玉の個数（$2$ 個目の赤玉も含む）を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

1 個のさいころを 1 回投げ、出た目を $3$ で割った余りを $X$ とする。また、これとは別に 1 枚の硬貨を $3$ 回投げ、表が出た回数を $Y$ とする。確率変数 $Z$ を
$$Z=XY+X-Y$$
と定めるとき、$Z$ の分散 $V(Z)$ を求めよ。

出力が $4$ 通りの値 $\{0,1,2,3\}$ のどれかになるハッシュ関数 $H$ を考える。$H$ はランダムオラクルとみなし、互いに異なる入力に対する出力は、それぞれ独立に $4$ 通りの値から等確率で選ばれるものとする。

攻撃者は互いに異なる入力 $m_1,m_2,m_3,\dots$ をこの順に $1$ つずつ $H$ に問い合わせ、それまでに得た出力のどれかと同じ出力が初めて得られた時点で問い合わせをやめる。すなわち、
$$H(m_t)=H(m_s)\text{となる}s<t\text{が存在する最小の正の整数}t$$
を $T$ とし、攻撃者は $T$ 回問い合わせる。$T$ の期待値 $E[T]$ を求めよ。

A と B の $2$ 人が試合を繰り返し行い、先に $4$ 勝した方を優勝とする（優勝が決まった時点で試合をやめる）。$1$ 回の試合で A が勝つ確率は $\frac{2}{3}$、B が勝つ確率は $\frac{1}{3}$ であり、引き分けはなく、各試合の結果は互いに独立であるとする。

A が優勝し、しかも試合の途中のどの時点においても、それまでの B の勝ち数が A の勝ち数を上回ることが一度もない確率を求めよ。

$1$ から $9$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $9$ 枚のカードがある。これらをよくまぜて、縦 $3$ 行・横 $3$ 列に並んだ $9$ つのマスに $1$ 枚ずつ無作為に置く。

$3$ つの行のうち、置かれた $3$ 枚のカードに書かれた数の和が $15$ である行が少なくとも $1$ つある確率を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$1$ から $n$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $n$ 枚のカードを無作為に横一列に並べる。$1\leqq i\leqq n-1$ を満たす整数 $i$ のうち、$i$ と書かれたカードと $i+1$ と書かれたカードが隣り合っている（順序は問わない）ものの個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を $n$ の式で表せ。

$n$ は $2$ 以上の整数とする。$1$ から $n$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $n$ 枚のカードを、無作為に横一列に並べる。左から $k$ 番目のカードに書かれた数を $a_k$ $(k=1,2,\dots ,n)$ とし、$1\leqq k\leqq n-1$ を満たす整数 $k$ のうち $a_{k+1}=a_k+1$ となるものの個数を $X$ とする（例えば、$n=5$ で $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(3,4,5,1,2)$ のとき $X=3$ である）。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を $n$ の式で求めよ。

$n$ を正の整数とする。$1$ から $6$ までの目が等しい確率で出るさいころを $n$ 回投げる。各回の結果は互いに独立とする。出た目の種類の数（$n$ 回のうち少なくとも $1$ 回出た目の個数）を $D$ とするとき、$D$ の分散 $V(D)$ を $n$ の式で表せ。

1 個のさいころを 5 回続けて投げ、出た目を順に $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ とする。積 $a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5$ が $60$ の倍数になる確率を求めよ。

さいころを $1$ 回投げ、出た目を $k$ とする。中の見えない袋に赤玉 $k$ 個と白玉 $6-k$ 個の合計 $6$ 個の玉を入れる。この袋から玉を $2$ 個同時に取り出したところ、少なくとも $1$ 個は赤玉であった。この条件のもとで、袋に残った $4$ 個の玉から $1$ 個を取り出すとき、それが赤玉である条件付き確率を求めよ。

1 個のさいころを 4 回続けて投げ、出た目を順に $a_1,a_2,a_3,a_4$ とする。積 $a_1{a}_2{a}_3{a}_4$ が $12$ の倍数になる確率を求めよ。

$1,1,2,2,3,3,4,4$ の数字が 1 つずつ書かれた 8 枚のカードがある。これらをよくまぜて、無作為に横 1 列に並べる。同じ数字が書かれたカードどうしがどこでも隣り合わない確率を求めよ。

袋の中に $1,2,3,4,5$ の番号が書かれたカードが 1 枚ずつ、合計 5 枚入っている。次の規則でゲームを行う。

• 袋からカードを 1 枚取り出し、番号を確認する。取り出したカードは袋に戻さない。
• 1 枚目または 2 枚目を取り出した直後には、「やめる」か「続ける」かを選べる。やめた場合は、最後に取り出したカードの番号が得点となり、ゲームは終わる。
• 3 枚目を取り出したときは必ずやめ、その番号が得点となる。

得点の期待値が最大になるように「やめる」か「続ける」かを選ぶとき、得点の期待値を求めよ。ただし、カードの取り出し方は同様に確からしいものとする。

箱の中に、見た目では区別のつかない 3 枚の硬貨 $A$, $B$, $C$ が入っている。1 回投げたときに表が出る確率は、$A$ が $1$（両面とも表）、$B$ が $\frac{1}{2}$、$C$ が $\frac{1}{3}$ である。

箱から硬貨を 1 枚無作為に取り出し、その硬貨を続けて投げる。3 回投げたところ、3 回とも表が出た。このとき、同じ硬貨をもう 1 回（4 回目）投げて表が出る確率を求めよ。

1 個のさいころを 4 回続けて投げ、出た目を順に $a_1,a_2,a_3,a_4$ とする。積 $a_1{a}_2{a}_3{a}_4$ が $60$ の倍数になる確率を求めよ。

1 個のさいころを 1 回投げ、出た目を $k$ とする。次に、赤玉 3 個と白玉 3 個の合計 6 個の玉が入った袋から、$k$ 個の玉を同時に取り出す。取り出した玉の中に赤玉がちょうど 2 個含まれていたとき、さいころの出た目が偶数である条件付き確率を求めよ。

1 個のさいころを $n$ 回投げる。ただし、$n$ は正の整数とする。$n$ 回のうちに少なくとも $1$ 回出た目の種類の数を $X$ とする（たとえば $n=4$ で出た目が順に $2,5,2,6$ のとき $X=3$ である）。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を $n$ の式で表せ。

袋の中に赤玉が $3$ 個、白玉が $4$ 個入っている。この袋から玉を $1$ 個ずつ取り出す。取り出した玉は袋に戻さない。この操作を $7$ 個の玉をすべて取り出すまで続ける。$k=1,2,\dots ,6$ のうち、$k$ 番目に取り出した玉と $(k+1)$ 番目に取り出した玉の色が異なるような $k$ の個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

出力が $5$ 通りしかない簡易ハッシュ関数 $H$ を考える。$H$ はランダムオラクルとみなし、互いに異なる入力に対する出力は、それぞれ独立に $5$ 通りの値から等確率で選ばれるものとする。

攻撃者は互いに異なる入力 $m_1,m_2,m_3,\dots$ を順に選んで $H(m_1),H(m_2),H(m_3),\dots$ を $1$ 回ずつ計算し、すでに計算した出力のどれかと同じ出力が初めて得られた時点で計算をやめる（衝突の発見）。このとき計算した $H$ の値の個数を $T$ とする（たとえば $H(m_1)=H(m_2)$ ならば $T=2$）。

確率変数 $T$ の期待値 $E[T]$ を求めよ。

出力が $N=6$ 通りの値 $\{0,1,2,3,4,5\}$ のどれかになるハッシュ関数 $H$ を考える。$H$ はランダムオラクルとみなし、互いに異なる入力に対する出力は、それぞれ独立に $6$ 通りの値から等確率で選ばれるものとする。

攻撃者は互いに異なる入力 $m_1,m_2,m_3,\dots$ を順に選び、ハッシュ値 $H(m_1),H(m_2),H(m_3),\dots$ を 1 つずつ計算していく。そして、計算したハッシュ値がそれまでに得たハッシュ値のどれかと一致した時点（衝突が初めて見つかった時点）で計算をやめる。

やめるまでに計算したハッシュ値の個数を $T$ とする（たとえば $H(m_1)=H(m_2)$ ならば $T=2$）。$T$ の期待値 $E[T]$ を求めよ。

番号 $0,1,2,3,4$ の $5$ 個のビットからなるブルームフィルタを考える。最初はすべてのビットが $0$ である。このフィルタは $2$ 個のハッシュ関数 $h_1,h_2$ を使い、次のように動作する。

• 要素 $x$ を挿入するときは、ビット $h_1(x)$ とビット $h_2(x)$ を $1$ にする（$h_1(x)=h_2(x)$ のときは、そのビット $1$ 個だけが $1$ になる）。
• 要素 $y$ を問い合わせるときは、ビット $h_1(y)$ とビット $h_2(y)$ がともに $1$ であれば「含まれる」と答え、そうでなければ「含まれない」と答える。

互いに異なる $2$ 個の要素 $a,b$ をこの順に挿入したあと、$a,b$ のどちらとも異なる要素 $c$ を問い合わせる。ここで、$6$ 個の値 $h_1(a),h_2(a),h_1(b),h_2(b),h_1(c),h_2(c)$ は互いに独立で、それぞれ $0,1,2,3,4$ のどれかに等確率 $\frac{1}{5}$ で定まるとする。

$c$ について誤って「含まれる」と答える確率（偽陽性の確率）を求めよ。

1 個のさいころを $n$ 回投げる。ただし、$n$ は正の整数とする。$n$ 回のうちに少なくとも $1$ 回出た目の種類の数を $X$ とする（例えば、$n=4$ で出た目が順に $3,5,3,1$ のとき $X=3$ である）。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を $n$ の式で表せ。

$1$ 個のさいころを $10$ 回続けて投げる。$k=1,2,\dots ,10$ に対して、$1$ 回目から $k$ 回目までに出た目の和を $S_k$ とする。$10$ 個の数 $S_1,S_2,\dots ,S_{10}$ のうち、$7$ の倍数であるものがちょうど $2$ 個である確率を求めよ。

1 個のさいころを $6$ 回続けて投げる。$6$ 回のうちから異なる $2$ 回を選び、その $2$ 回に出た目の和を $7$ にすることができる確率を求めよ。

正五角形 $\mathrm{ABCDE}$ があり、頂点は反時計回りにこの順に並んでいる。点 $\mathrm{P}$ ははじめ頂点 $\mathrm{A}$ にある。1 個のさいころを投げ、出た目の数だけ $\mathrm{P}$ を反時計回りに隣の頂点へ 1 つずつ移動させる操作をくり返す。ただし、次の規則で操作を終える。

• 操作の後に $\mathrm{P}$ が頂点 $\mathrm{A}$ に止まっていれば、その時点で終了する（移動の途中で $\mathrm{A}$ を通過しただけでは終了しない）。
• $\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ に止まらなくても、さいころを $4$ 回投げたら終了する。

さいころを投げる回数の期待値を求めよ。

1 個のさいころを $8$ 回続けて投げる。$k=1,2,\dots ,8$ に対して、$1$ 回目から $k$ 回目までに $3$ 以上の目が出た回数を $a_k$、$2$ 以下の目が出た回数を $b_k$ とする。$k=1,2,\dots ,8$ のすべてに対して $a_k\geqq b_k$ が成り立つ確率を求めよ。

1 個のさいころを繰り返し投げる。出た目の合計が $7$ 以上になった時点で、投げるのをやめる。

やめた時点での出た目の合計が $10$ であったとき、途中のある回までに出た目の合計が、ちょうど $4$ になったことがある条件付き確率を求めよ。

1 個のさいころを $5$ 回続けて投げ、出た目を順に $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ とする。積 $a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5$ が $72$ の倍数となる確率を求めよ。