場合の数と確率の問題

$S_0=0$ とし、$S_k$ が $7$ の倍数であることを「$k$ 回目に当たる」と呼ぶ。

1. 鍵となる観察

$k$ 回目の目を $d_k$ とすると $S_k=S_{k-1}+d_k$ で、$d_k$ は $1$ から $6$ のどれかである。

• $S_{k-1}$ が $7$ の倍数のとき：$S_k$ を $7$ で割った余りは $d_k$ を $7$ で割った余りと同じで $0$ にならない。よって $k$ 回目は必ず外れる。
• $S_{k-1}$ を $7$ で割った余りが $r$ $(1\leqq r\leqq 6)$ のとき：$S_k$ が $7$ の倍数になるのは $d_k=7-r$ のときだけで、$7-r$ は $1$ から $6$ のどれかなので、その確率は$r$ によらず $\frac{1}{6}$ である。

さいころを投げる試行は独立なので、それまでの結果がどうであっても、$k$ 回目に当たる確率は
- $k-1$ 回目に当たっていた（$k=1$ のときは $S_0=0$ なので、これに含める）ならば $0$
- そうでなければ $\frac{1}{6}$（外れる確率は $\frac{5}{6}$）

となる。したがって、当たり外れの並び方 $1$ つの確率は、各回のこれらの確率の積で求められる。

2. ちょうど $2$ 回当たる場合

当たる回を $i$ 回目と $j$ 回目 $(i<j)$ とする。$1$ 回目は必ず外れるので $i\geqq 2$、$i+1$ 回目は必ず外れるので $j\geqq i+2$ である。

「必ず外れる回」は $1$ 回目と $i+1$ 回目、さらに $j\leqq 9$ ならば $j+1$ 回目であり、それ以外の回は当たり $\frac{1}{6}$、外れ $\frac{5}{6}$ の確率になる。

(ア) $j=10$ のとき：必ず外れる回は $1$ 回目と $i+1$ 回目の $2$ 回。残り $8$ 回のうち $2$ 回が当たり、$6$ 回が外れなので、確率は ${\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^6$。$i$ は $2\leqq i\leqq 8$ の $7$ 通り。

(イ) $j\leqq 9$ のとき：必ず外れる回は $1$ 回目、$i+1$ 回目、$j+1$ 回目の $3$ 回。残り $7$ 回のうち $2$ 回が当たり、$5$ 回が外れなので、確率は ${\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^5$。組 $(i,j)$ は $2\leqq i$、$i+2\leqq j\leqq 9$ を満たすもので、$i=2,3,4,5,6,7$ に対して $j$ がそれぞれ $6,5,4,3,2,1$ 通りなので、$21$ 通り。

3. 計算

$$P=\frac{1}{36}\left\{7{\left(\frac{5}{6}\right)}^6+21{\left(\frac{5}{6}\right)}^5\right\}=\frac{1}{36}{\left(\frac{5}{6}\right)}^5\left(\frac{35}{6}+21\right)=\frac{1}{36}\cdot \frac{3125}{7776}\cdot \frac{161}{6}$$
$$=\frac{3125\cdot 161}{6^2\cdot 6^5\cdot 6}=\frac{503125}{6^8}=\frac{503125}{1679616}.$$
$503125=5^5\cdot 7\cdot 23$、$1679616=2^8\cdot 3^8$ なので、これ以上約分できない。

（確認：$4$ 回投げてちょうど $2$ 回当たるのは $i=2,j=4$ の場合だけで確率 $\frac{1}{36}$。実際、$d_1+d_2=7$ かつ $d_3+d_4=7$ の確率は $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$ で一致する。）

よって求める確率は $\frac{503125}{1679616}$ である。

$S_k$ を $7$ で割った余りを考える。$S_0=0$ とおくと、$S_k=S_{k-1}+X_k$（$X_k$ は $1$ 回の目、$1\le X_k\le 6$）であり、$X_k$ は $7$ の倍数でないから、余りは毎回「今の余りと異なる $6$ 個の余りのどれか」に等しい確率 $\frac{1}{6}$ ずつで移る。したがって、
- 余りが $0$ のとき、次は必ず余りが $0$ でない。
- 余りが $0$ でないとき、次に余りが $0$ になる確率は $\frac{1}{6}$、$0$ でないままである確率は $\frac{5}{6}$。

「$S_k$ が $7$ の倍数」を A、そうでないことを N と書く。$S_0$ は A で、$S_1$ は必ず N。$S_2,\dots ,S_{10}$ のうちちょうど $2$ 個が A となる場合を数える。A は連続しない（A の次は必ず N）。

$S_2,\dots ,S_{10}$ の $9$ 個の位置から連続しない $2$ 個を選ぶ方法は ${}_8{\mathrm{C}}_2=28$ 通り。

(i) $S_{10}$ が A でない場合: ${}_8{\mathrm{C}}_2-7=21$ 通り。$S_0\to S_{10}$ の $10$ 回の移り変わりのうち、A→N が $3$ 回（確率 $1$）、N→A が $2$ 回（各 $\frac{1}{6}$）、N→N が $5$ 回（各 $\frac{5}{6}$）。確率は ${\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^5$。

(ii) $S_{10}$ が A の場合: もう一方は $S_2,\dots ,S_8$ の $7$ 通り。A→N が $2$ 回、N→A が $2$ 回、N→N が $6$ 回。確率は ${\left(\frac{1}{6}\right)}^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^6$。

求める確率は
$$21\cdot \frac{5^5}{6^7}+7\cdot \frac{5^6}{6^8}=\frac{5^5}{6^8}(21\cdot 6+7\cdot 5)=\frac{3125\cdot 161}{6^8}=\frac{503125}{1679616}.$$
（約 $0.2995$。確かめ: 余りが $0$ になる回数の期待値は約 $10/7$ で、ちょうど $2$ 回が約 $0.3$ という値は妥当。）