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場合の数と確率の問題

難易度 5最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル数学A 場合の数と確率

1 個のさいころを $8$ 回続けて投げる。 $k = 1, 2, \dots, 8$ に対して、 $1$ 回目から $k$ 回目までに $3$ 以上の目が出た回数を $a_{k}$ 、 $2$ 以下の目が出た回数を $b_{k}$ とする。 $k = 1, 2, \dots, 8$ のすべてに対して $a_{k} ≧ b_{k}$ が成り立つ確率を求めよ。

この問題で使うもの

確率の定義と和事象・余事象（説明と入口の問題）
独立な試行と反復試行（説明と入口の問題）
組合せ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「 $3$ 以上の目」を $+ 1$ 、「 $2$ 以下の目」を $- 1$ とみて、 $a_{k} - b_{k}$ を数直線上の点の動きと考えましょう。条件は点が一度も負にならないことです。 $2$ 以下の目の回数 $b$ ごとに場合分けします。

ヒント 2

$2$ 以下の目がちょうど $b$ 回で条件を満たす列の個数は、全体 $_{8} C_{b}$ から「途中で $- 1$ に達する列」を引けば求まります。後者は、最初に $- 1$ に達するまでの部分を反転させる（ $+ 1$ と $- 1$ を入れ替える）対応で、 $- 2$ から出発する列の個数に置き換えられます。

ヒント 3

途中で $- 1$ に達する列の個数は $_{8} C_{b - 1}$ となり、条件を満たす列は $b = 0, 1, 2, 3, 4$ でそれぞれ $1, 7, 20, 28, 14$ 通りです。 $1$ つの列の確率は $\frac{2 ^{8 - b}}{3 ^{8}}$ です。

答えと解説

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\frac{1184}{2187}

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解説を読む

$3$ 以上の目が出ることを $U$ 、 $2$ 以下の目が出ることを $D$ と表す。 $1$ 回の試行で $U$ の確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ 、 $D$ の確率は $\frac{1}{3}$ であり、各回の試行は独立である。

$8$ 回のうち $D$ がちょうど $b$ 回の出方の列 $1$ つが起こる確率は $(\frac{2}{3})^{8 - b} (\frac{1}{3})^{b} = \frac{2 ^{8 - b}}{3 ^{8}}$ である。 $a_{8} ≧ b_{8}$ より $8 - b ≧ b$ 、すなわち $b = 0, 1, 2, 3, 4$ に限られる。

条件を満たす列の個数 $N_{b}$ を数える。
$a_{k} - b_{k}$ を、 $U$ で $+ 1$ 、 $D$ で $- 1$ 動く点の位置と考える。点は $0$ から出発し、 $8$ 回後に $8 - 2 b$ にいる。条件は「途中で一度も $- 1$ に達しない」ことである。

$D$ が $b$ 回の列は全部で $_{8} C_{b}$ 通り。このうち、ある時点で $- 1$ に達する列について、最初に $- 1$ に達するまでの部分の $U$ と $D$ をすべて入れ替える。すると、 $- 2$ から出発して $8 - 2 b$ に到達する列と $1$ 対 $1$ に対応する（逆に $- 2$ から $8 - 2 b ≧ 0$ へ行く列は必ず $- 1$ を通るので、最初に $- 1$ に達するまでを入れ替えれば元に戻る）。 $- 2$ から $8 - 2 b$ へ $8$ 回で動くには、 $U$ の回数を $u$ 、 $D$ の回数を $w$ として $u + w = 8$ 、 $u - w = 10 - 2 b$ より $w = b - 1$ 。よってその個数は $_{8} C_{b - 1}$ （ $b = 0$ のときは $0$ ）。

したがって $N_{b} =_{8} C_{b} -_{8} C_{b - 1}$ であり、
$N_{0} = 1, N_{1} = 8 - 1 = 7, N_{2} = 28 - 8 = 20, N_{3} = 56 - 28 = 28, N_{4} = 70 - 56 = 14.$

確率を求める。
$P = \frac{1}{3 ^{8}} (N_{0} \cdot 2^{8} + N_{1} \cdot 2^{7} + N_{2} \cdot 2^{6} + N_{3} \cdot 2^{5} + N_{4} \cdot 2^{4})$
$= \frac{256 + 896 + 1280 + 896 + 224}{6561} = \frac{3552}{6561} .$
$3552 = 3 \cdot 1184$ 、 $6561 = 3 \cdot 2187$ より
$P = \frac{1184}{2187} .$

（確認） $d = a_{k} - b_{k}$ の値ごとに、確率の $3^{8}$ 倍に相当する重み（ $U$ で $\times 2$ 、 $D$ で $\times 1$ 、 $d < 0$ になる遷移は除く）を順に計算すると、 $8$ 回後には $d = 8, 6, 4, 2, 0$ に対してそれぞれ $256, 896, 1280, 896, 224$ となり、合計 $3552$ で一致する。

答え: $\frac{1184}{2187}$

別解

3以上の目が出る確率は $\frac{2}{3}$ 、2以下の目が出る確率は $\frac{1}{3}$ である。3以上を「上」、2以下を「下」の1歩とみなすと、条件はすべての $k$ で $a_{k} ≧ b_{k}$ 、つまり経路が一度も0を下回らないことである。

8回中、下が $v$ 回、上が $8 - v$ 回で、すべての $k$ で $a_{k} ≧ b_{k}$ となる経路の数は、反射法により $(v 8) - (v - 1 8)$ である。ただし $a_{8} ≧ b_{8}$ より $v ≦ 4$ である。

各経路の確率は $(\frac{2}{3})^{8 - v} (\frac{1}{3})^{v} = \frac{2 ^{8 - v}}{3 ^{8}}$ である。

$v = 0$ : $1 \cdot 256 = 256$
$v = 1$ : $(8 - 1) \cdot 128 = 896$
$v = 2$ : $(28 - 8) \cdot 64 = 1280$
$v = 3$ : $(56 - 28) \cdot 32 = 896$
$v = 4$ : $(70 - 56) \cdot 16 = 224$

合計は $256 + 896 + 1280 + 896 + 224 = 3552$ である。

求める確率は $\frac{3552}{6561} = \frac{1184}{2187}$ である。

検算として、 $v = 1$ の場合を直接数える。下が1回だけの経路は8通りあり、そのうち1回目が下の1通りだけが条件を満たさない。よって $8 - 1 = 7$ 通りで、反射法の式 $(1 8) - (0 8) = 7$ と一致する。

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