場合の数と確率の問題
1 個のさいころを 回続けて投げ、出た目を順に とする。積 が の倍数となる確率を求めよ。
この問題で使うもの
- 確率の定義と和事象・余事象（説明と入口の問題）
- 包除原理（説明と入口の問題）
- 組合せ（説明と入口の問題）
- 順列・円順列・重複順列（説明と入口の問題）
- 和の法則・積の法則と樹形図（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（7 技能）
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ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
と素因数分解し、「素因数 が 個以上」かつ「素因数 が 個以上」の余事象を考えましょう。余事象は 2 つの事象の和事象になります。
ヒント 2
：素因数 が 個以下、：素因数 が 個以下 とおき、 を使います。各目が含む と の個数を表にしておくと数えやすくなります。
ヒント 3
、 です。 は、 の目の出方で場合分けして数えましょう。
答えと解説
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解説を読む
全事象は 通りで、これらは同様に確からしい。
なので、積が の倍数であることは、積に含まれる素因数 の個数が 以上、かつ素因数 の個数が 以上であることと同値である。
各目に含まれる素因数 の個数は次のとおりである。
- ： が 個、 が 個
- ： が 個、 が 個
- ： が 個、 が 個
- ： が 個、 が 個
- ： が 個、 が 個
余事象を考える。
- ：積に含まれる素因数 の個数が 以下
- ：積に含まれる素因数 の個数が 以下
とすると、求める事象は の余事象である。
の場合の数
を含む目は の 種類で、それぞれ を 個だけ含む。したがって は「 または の目が出る回数が 回以下」である。
の場合の数
を 個含む目は の 種類、 個含む目は の 種類、 個含む目は の 種類である。 の総数で場合分けする。
- 総数 ：
- 総数 ： か が 回だけで、残りは である。
- 総数 ： が 回で残りが の場合は 。 から 回で残りが の場合は 。合わせて
よって
の場合の数
の総数が 以下、かつ の総数が 以下となる場合を数える。 を含む目（）の出方で場合分けする。
- が出ない：すべて で、 は 回以下。
- が 回で、他の 回は ： は 回以下なので
- が 回で、他の 回は ： が を 個含むので、他に は出せない。
- が 回で、他の 回は ： は 回以下なので
- が 回で、他の 回は ： は 回以下なので
- と が 回ずつで、他の 回は ：
- が 回の場合は が 個になるので不適である。
よって
和事象と余事象
したがって、積が の倍数となる場合の数は である。求める確率は
（、 なので、これ以上約分できない。）
別解
なので、積に素因数 が 3 個以上、素因数 が 2 個以上含まれる確率を求める。全事象は 通り。
各目の分類(2 の指数, 3 の指数):1,5→(0,0)、2→(1,0)、4→(2,0)、3→(0,1)、6→(1,1)。
3 の倍数の目(3 または 6)が出る回数を とすると、 が必要。そのとき、3 の倍数の目 個では 3 なら 、6 なら なので母関数は 。残り 回は 1,5,2,4 のいずれかで、母関数は 。2 の指数の合計が 3 以上となる場合の数 は、 以上の係数の和で求める。
ここで とおくと、、。
- :全体 。 の の係数は 8, 28, 50 で合計 86。よって 。
- :全体 。 の の係数は 4, 16, 29 で合計 49。よって 。
- :全体 。 の の係数は 2, 9, 17 で合計 28。よって 。
- : の 以上の係数の和 。よって 。
条件を満たす場合の数は、サイコロのうちどの 回が 3 の倍数かの選び方 を掛けて
。
確率は (、 なので既約)。